3.5 双曲线及其方程、几何性质 -【讲练课堂】2022-2023学年高二数学同步培优题典（人教A版2019选择性必修第一册）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 第 1 页 共 15 页 ✬3.5 双曲线及其方程、几何性质 知 识 题 型 类 型 双曲线的定义 双曲线的定义及其应用 重点、考点 双曲线的标准方程 求双曲线的标准方程 重点、考点 双曲线的几何性质 双曲线的几何性质 重点、考点 一．双曲线的定义 平面内与两个定点 1F ， 2F 的距离的差的绝对值等于非零常数（小于 21FF ）的点的轨迹叫作双曲线.这 两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距. 二．双曲线的标准方程与几何性质 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图示 标准方程 )00(12 2 2 2  ba b y a x ， )00(12 2 2 2  ba b x a y ， 焦点坐标 )0(1 ，cF  ， )0(2 ，cF )0(1 cF ， ， )0(2 cF ， a，b，c 的关系 222 acb  范围 Ryax  ， Rxay  ， 对称性 关于 yx， 轴、原点对称 顶点坐标 )0()0( 21 ，，， aAaA  )0()0( 21 aAaA ，，， 轴长 实轴长：2a；虚轴长：2b 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 第 2 页 共 15 页 离心率 )1()(1 2  e a b a ce 通径 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小： a b22 渐近线 x a by  x b ay  焦渐距 双曲线的焦点到渐近线的距离为 b 三．已知双曲线的渐近线求双曲线的标准方程 若双曲线的渐近线方程为 0 nymx ，则双曲线的方程为 )0(2222  ynxm . 四．等轴双曲线 在双曲线中，若 ba  ，则双曲线的长轴和短轴相等，即等轴双曲线.等轴双曲线的性质有： 等轴双曲线的性质 离心率 等轴双曲线的离心率为： 2e 渐近线 1.等轴双曲线的渐近线为： xy  ； 2.等轴双曲线的渐近线互相垂直，且斜率分别为  13545 和 考点一 双曲线的定义 例 1 已知平面内两定点 1( 3,0)F  ， 2 (3,0)F ，下列条件中满足动点 P的轨迹为双曲线的是（ ） A． 1 2| | | | 7PF PF   B． 1 2| | | | 6PF PF   C． 1 2| | | | 4PF PF   D． 2 2 1 2| | | | 6PF PF   例 2 平面内有两个定点 1F ， 2F 和一动点M ，设命题甲： 1 2|| | | ||MF MF 是定值，命题乙：点M 的轨 迹是双曲线，则命题甲是命题乙的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例 3 已知 A， B两地相距800m，在 A地听到炮弹爆炸声比在 B地晚 2s，且声速为 340 /m s，则炮弹 爆炸点的轨迹是（ ） A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 第 3 页 共 15 页 变 1 在平面直角坐标系 xOy中，已知点 1( 5,0)F  ， 2 (5,0)F ，动点 P满足 1 2| | | | 8PF PF  ，则点 P的轨 迹是（ ） A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的左支 D．双曲线的右支 变 2 平面内有两定点 A， B及动点 P，设命题甲：“ | |PA 与 | |PB 之差的绝对值是定值”，命题乙： “点 P的轨迹是以 A， B为焦点的双曲线”，那么命题甲是命题乙的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例 4 方程 2 2 2 2( 4) ( 4) 6x y x y      化简的结果是（ ） A． 2 2 1 9 7 x y   B． 2 2 1 25 9 x y   C． 2 2 1 9 7 x y   ， 3x D． 2 2 1 9 7 x y   ， 3x 变 3 如果点 ( , )M x y 在运动过程是总满足关系式 2 2 2 2( 5) ( 5) 8x y x y      ，则点M 的轨迹方程 为 ． 例 5 若曲线 2 2 1 4 1 x y k k     表示双曲线，则 k的取值范围是 ． 例 6 已知m， n R ，则“ 0m n  ”是“方程 2 2 1x y m n   表示双曲线”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变 4 若方程 2 2 1 2 1 x y k k     表示的图形是双曲线，则 k的取