1.1 第2课时 递推公式与数列的函数特性（Word练习）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修 第一册（湘教版2019）

[对应学生用书P167] 1．数列1，3，6，10，15，…的递推公式是(　　) A．an＋1＝an＋n(n∈N＋) B．an＝an－1＋n(n≥2，n∈N＋)，a1＝1 C．an＋1＝an＋(n－1)(n∈N＋) D．an＝an－1＋(n－1)(n≥2，n∈N＋)，a1＝1 B　解析：观察数列的前五项，发现相邻两项的后一项比前一项大后一项的序号数，故an＝an－1＋n(n≥2，n∈N＋)，a1＝1. 2．已知数列{an}满足a1>0，2an＋1＝an，则数列{an}是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．以上都不对 B　解析：∵a1>0，2an＋1＝an， ∴an>0，＝<1. ∴an＋1<an.∴数列{an}是递减数列． 3．已知数列{an}的通项公式为an＝n－7＋2，则此数列中数值最小的项是(　　) A．第10项 B．第11项 C．第12项 D．第13项 C　解析：因为an＝n－7＋2＝(－)2－，所以易知当n＝12时，an取得最小值，即此数列中数值最小的项是第12项． 4．一给定函数y＝f(x)的图象在下列图中，并且对任意a0∈(0，1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}满足an＋1>an，则该函数的图象是(　　) A　解析：由an＋1＝f(an)，an＋1>an，得f(an)>an，即f(x)>x，结合图象知A正确． 5．(多选题)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝－(n∈N＋)，下列选项中能使an＝3的n为(　　) A．17 B．16 C．8 D．7 BD　解析：由a1＝3，an＋1＝－，得a2＝－，a3＝－，a4＝3， 所以数列{an}是周期为3的数列，所以a8＝a17＝－，a7＝a16＝3. 6．已知数列{an}为递增数列，通项公式为an＝n＋，则λ的取值范围是________． (－∞，2)　解析：因为数列{an}为递增数列，an＝n＋，所以an＋1－an＝－(n＋)＝1－>0，即λ<n(n＋1)(n∈N＋).所以λ<2. 7．已知数列{an}中，a1＝1，＝，则an＝________． ()n－1　解析：方法一　由题意可知，a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，…，所以an＝.当n＝1时，a1＝＝1，符合上式，故an＝()n－1. 方法二　当n≥2时，an＝··…···a1＝()n－1·1＝()n－1.当n＝1时，a1＝()1－1＝1，符合上式，故an＝()n－1. 8．已知数列{an}的通项公式为an＝()n－1－()n－1，在下列说法中：①有最大项；②有最小项；③没有最大项；④没有最小项．正确的是________．(填序号) ①②　解析：令t＝()n－1，t∈(0，1]，t是关于n的减函数，则an＝t2－t＝(t－)2－.由复合函数的单调性知an既有最大项又有最小项，故①和②正确． 9．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－21n＋20. (1)－60是否是该数列中的项，若是，求出项数；该数列中有小于0的项吗？共有多少项？ (2)当n为何值时，an有最小值？并求出最小值． 解：(1)由n2－21n＋20＝－60得n＝5或n＝16，所以数列的第5项和第16项都为－60.由n2－21n＋20<0，得1<n<20，所以该数列中共有18项小于0. (2)因为an＝n2－21n＋20＝(n－)2－，可知对称轴为n＝＝10.5.又因为n∈N＋，所以当n＝10或n＝11时，an有最小值，其最小值为－90. 10．如图，将正三角形的每一条边三等分，并以每一条边上居中的一条线段为边向外作正三角形，便得到第1条“雪花曲线”(如图(乙)的实线部分)，对第1条“雪花曲线”的边重复上述作法，便得到第2条“雪花曲线”(如图(丙))，这样一直继续下去，得到一系列的“雪花曲线”．设第n条“雪花曲线”有an条边． (1)写出a1，a2的值； (2)求出数列{an}的递推公式． 解：(1)a1＝12，a2＝48. (2)由“雪花曲线”的作法可知， 第n条“雪花曲线”的每条边都可得到第n＋1条“雪花曲线”的4条边． ∴an＋1＝4an. ∴数列{an}的递推公式为an＋1＝4an. 12．已知数列{an}满足an＝(n∈N＋)，则数列{an}中的最小项是第________项． 5　解析：an＝＝＝＋，令3n－16<0，得n<. 又数列{an}在(0，)上单调递减，且n∈N＋，所以当n＝5时，an取最小值． 13．在数列{an}中，a1＝2，点(an，an＋1)在函数 f(x)＝的图象上． (1)求a2，a3，a4的值； (2)猜想数列{an}的一个通项公式． 解：(1)因为点(an，an＋1)在函数f(x)＝的图象上，所以an＋1＝， 又a1＝2，所以a