第1章 2.1 圆的标准方程（Word练习）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修 第一册（北师大版2019）

§2　圆与圆的方程 2．1　圆的标准方程 1．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别为(　　) A．(－2，3)，1　　　　　　　 B．(2，－3)，3 C．(－2，3)， D．(2，－3)， 答案：D 2．圆心为(1，1)且与直线x＋y＝4相切的圆的方程是(　　) A．(x－1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y－1)2＝4 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 A　[由题意知，圆心到直线的距离等于圆的半径，即r＝＝. 故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.] 3．已知点A(a，a－1)在圆(x－3)2＋(y－2)2＝2的外部，则实数a的取值范围是(　　) A.(2，4) B．(－∞，2) C．(4，＋∞) D．(－∞，2)∪(4，＋∞) D　[由题意得(a－3)2＋(a－3)2>2，解得a>4或a<2，即a∈(－∞，2)∪(4，＋∞).] 4．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3，2)(　　) A．是圆心 B．在圆上 C．在圆内 D．在圆外 C　[因为(3－2)2＋(2－3)2＝2<4， 所以点P在圆内．] 5．若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为(　　) A． B． C． D． B　[由题意可知圆心在第一象限，设为(a，b). 因为圆与两坐标轴均相切， 所以a＝b，且半径r＝a. 所以圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2. 因为点(2，1)在圆上， 所以(2－a)2＋(1－a)2＝a2. 整理得a2－6a＋5＝0.解得a＝1或a＝5. 当a＝1时，圆心坐标为(1，1)，此时圆心到直线 2x－y－3＝0的距离d＝＝； 当a＝5时，圆心坐标为(5，5)，此时圆心到直线 2x－y－3＝0的距离d′＝＝. 综上，圆心到直线2x－y－3＝0的距离为.] 6．圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，则k的值为(　　) A．2 B．－2 C．1 D．－1 B　[由题意知圆心(1，1)在直线y＝kx＋3上， 所以k＝－2.] 7．若P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是(　　) A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0 C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0 A　[由题意知圆心为C(1，0). 由圆的几何性质，得AB⊥CP. 又kCP＝－1，所以kAB＝1. 所以直线AB的方程为y＋1＝x－2， 即x－y－3＝0.] 8．函数y＝的图象是(　　) A．一条射线 B．一个圆 C．两条射线 D．半圆弧 D　[y＝可化为x2＋y2＝9(y≥0). 所以y＝的图象是半圆弧．] 9．圆C与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同心，且过点P(－1，1)，则圆C的标准方程是______________________． (x－2)2＋(y＋3)2＝25　 [圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心为(2，－3). 设圆C的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝r2. 由点P(－1，1)在圆上得(－1－2)2＋(1＋3)2＝r2.解得r2＝25. 故所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.] 10．已知圆C经过坐标原点，且圆心在直线y＝－2x＋3上运动，求当半径最小时的圆的方程． 解　方法一　设圆心坐标为(a，－2a＋3)，则圆的半径 r＝ ＝ ＝ . 当a＝时，rmin＝. 故所求圆的方程为 (x－)2＋(y－)2＝. 方法二　如右图，易知圆的半径的最小值就是原点O到直线y＝－2x＋3的距离． 此时r＝＝. 设圆心为(a，－2a＋3)， 则＝. 解得a＝. 从而圆心坐标为(，). 故所求圆的方程为 (x－)2＋(y－)2＝. 11．已知点A(1，0)，B(1，2)，圆O：x2＋y2＝4，则(　　) A．点A与点B都在圆O外 B．点A在圆O外，点B在圆O内 C．点A在圆O内，点B在圆O外 D．点A与点B都在圆O内 C　[因为12＋02＜4，12＋22＞4， 所以点A在圆O内，点B在圆O外．] 12．(多选题)已知圆C关于y轴对称，经过点(1，0)，且被x轴分成两段的弧长比为1∶2，则圆C的方程为(　　) A．x2＋(y＋)2＝ B．x2＋(y－)2＝ C．(x－)2＋y2＝ D．(x＋)2＋y2＝ AB　[由题意可知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为. 设圆心为(0，a), 半径为r， 则r sin ＝1，r cos ＝|a|. 解得r＝，即r2＝. 则|a|＝，即a＝±. 故圆C的方程为x2＋(y±)2＝.] 13．(多空题)直线l：＋＝1与x轴、y轴分别相交