第1章 1.6 第1课时两点间的距离公式（Word练习）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修 第一册（北师大版2019）

1．6　平面直角坐标系中的距离公式 第1课时　两点间的距离公式 1．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，|AB|＝5，则a的值为(　　) A．1 B．－5 C．1或－5 D．－1或5 C　[由|AB|＝＝5，可得 (a＋2)2＝9.所以a＝1或－5.] 2．等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3，3)，若点A的坐标为(0，4)，则点B的坐标可能是(　　) A．(2，0)或(4，6) B．(2，0)或(6，4) C．(4，6) D．(0，2) A　[设B(x，y)，由题意得×＝－1， ＝. 化简得3x－y－6＝0，(x－3)2＋(y－3)2＝10. 联立解得或所以B(2，0)或(4，6).] 3．已知△ABC的顶点A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长是(　　) A．2 B．3＋2 C．6＋3 D．6＋ C　[因为|AB|＝＝3，|BC|＝3，|AC|＝＝3， 所以△ABC的周长为6＋3.] 4．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0和x＋ay＝0上，且线段AB的中点为P(0，)，则线段AB的长为(　　) A．11 B．10 C．9 D．8 B　[依题意得a＝2，则P(0，5).设A(b，2b)，B(－2c，c)， 则解得故A(4，8)，B(－4，2). 所以|AB|＝ ＝10.] 5．已知△ABC的三个顶点是A(－a，0)，B(a，0)和C(，a)，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．斜三角形 C　[因为|AC|＝ ＝|a|， |BC|＝ ＝|a|， |AB|＝|a＋a|＝2|a|， 所以|AC|2＋|BC|2＝|AB|2. 所以△ABC为直角三角形．] 6．已知A(1，4)，B(8，3)，点P在x轴上，则使|AP|＋|BP|取得最小值的点P的坐标是(　　) A．(4，0) B．(5，0) C．(－5，0) D．(－4，0) B　[因为A(1，4)关于x轴的对称点为A′(1，－4)，所以A′B所在的直线方程为y＝x－5. 令y＝0，得x＝5. 所以P(5，0).] 7．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0与过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________． 5　[易知A(0，0)，B(1，3)，且两直线互相垂直． 则△APB为直角三角形． 所以|PA|·|PB|≤＝＝＝5，当且仅当|PA|＝|PB|时等号成立．] 8．已知点A(－1，0)，B(cos α，sin α)，且|AB|＝，那么直线AB的方程为_____________________________________． y＝x＋或y＝－x－　 [由题意得|AB|＝ ＝＝. 所以cos α＝，sin α＝±. 所以kAB＝±， 即直线AB的方程为y＝±(x＋1). 所以直线AB的方程为 y＝x＋或y＝－x－.] 9．直线x＋2y－3＝0与直线ax＋4y＋b＝0关于点A(1，0)对称，则b＝________． 2　[在直线x＋2y－3＝0上取两点P1(1，1)，P2(3，0)，则P1，P2关于点A的对称点P1′，P2′都在直线ax＋4y＋b＝0上， 易知P1′(1，－1)，P2′(－1，0)， 所以 所以b＝2.] 10．已知点A(1，1)，B(2，2)，C(4，0)，D(，)，点P在线段CD的垂直平分线上． (1)求线段CD垂直平分线的方程． (2)当|PA|2＋|PB|2取得最小值时，求点P的坐标． 解　(1)由C(4，0)，D(，)， 得线段CD的中点M(，). 故kCD＝＝－2. 所以线段CD的垂直平分线的斜率为. 所以线段CD垂直平分线的方程为 y－＝(x－)，即x－2y＝0. (2)设P(2t，t)， 则|PA|2＋|PB|2＝(1－2t)2＋(1－t)2＋(2－2t)2＋(2－t)2＝10t2－18t＋10. 当t＝时，|PA|2＋|PB|2取得最小值，此时P(，). 11．已知两定点A(－3，5)，B(2，8)，动点P在直线x－y＋1＝0上，则|PA|＋|PB|的最小值为(　　) A.5 B． C．5 D．2 D　[由题意知，两定点A(－3，5)，B(2，8)在直线x－y＋1＝0同侧，动点P在直线x－y＋1＝0上． 设点A关于直线x－y＋1＝0的对称点为C(a，b)， 则解得a＝4，b＝－2. 所以C(4，－2). 所以|PA|＋|PB|的最小值为 |BC|＝＝2.] 12．已知点A(3，1)，在直线y＝x和y＝0上分别找一点M和N，使△AMN的周长最小，则最小周长为(　　) A.4 B．2