2.2.1 不等式及其性质-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【金版教程】创新导学案word（人教B版）

2.2.1　不等式及其性质 (教师独具内容) 课程标准：理解不等式的概念，掌握不等式的性质． 教学重点：1.不等式的性质.2.用作差法比较代数式的大小.3.用不等式的性质证明不等式． 教学难点：用不等式的性质求取值范围． 核心素养：1.通过学习不等式的性质及推论培养数学抽象素养.2.通过应用不等式的性质及推论解决问题培养逻辑推理素养. 　 　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　不等式与不等关系 我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式． 注意：a≥b⇔a>b或a＝b，a≤b⇔a<b或a＝b. 知识点二　两个实数大小的比较 (1)a>b⇔a－b>0. (2)a＝b⇔a－b＝0. (3)a<b⇔a－b<0. 知识点三　不等式的性质及推论 (1)性质 ①如果a>b，那么a＋c>b＋c； ②如果a>b，c>0，那么ac>bc； ③如果a>b，c<0，那么ac<bc； ④如果a>b，b>c，那么a>c； ⑤a>b⇔b<a. (2)推论 ①如果a＋b>c，那么a>c－b； ②如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d； ③如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd； ④如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n>1)； ⑤如果a>b>0，那么>. 知识点四　证明方法 (1)作差法：通过比较两式之差的符号来判断两式的大小，从而证得不等式． (2)综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法．综合法中，最重要的推理形式为p⇒q，其中p是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论. (3)反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立． (4)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、基本事实、定理等)为止．分析法中，最重要的推理形式为p⇐q，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件. 1．关于不等式性质的理解 两个同向不等式可以相加，但不可以相减，如a>b，c>d不能推出a－c>b－d. 2．常用的结论 (1)a>b，ab>0⇒<. (2)b<0<a⇒>. (3)a>b>0，c>d>0⇒>. (4)若a>b>0，m>0，则>；<(b－m>0)；<；>(b－m>0)． 3．比较大小的方法 (1)作差：比较数(式)的大小常作差与0比较． 作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形，前者将“差”化为“积”，后者将“差”化为一个完全平方式或几个完全平方式的“和”，也可二者并用． (2)作商：两数(式)为同号时，作商与1比较． 4．利用不等式求范围应注意的问题 求指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若x2＝0，则x≥0.(　　) (2)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(　　) (3)若a>b，则ac2>bc2.(　　) (4)若a>b>0，则>.(　　) (5)若x>1，则x3＋2x与x2＋2的大小关系为x3＋2x>x2＋2.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ 2．做一做 (1)已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　) A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b (2)设b<a，d<c，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．a－c>b－d B．ac>bd C．a＋c>b＋d D．a＋d>b＋c (3)已知x<1，则x2＋2与3x的大小关系是________. 答案　(1)C　(2)C　(3)x2＋2>3x 　 　　　　　　　　　　　　　　　 题型一 作差法比较大小 例1　比较下列各组中两数的大小： (1)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小； (2)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小； (3)已知x，y均为正数，设m＝＋，n＝，比较m和n的大小． [解]　(1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)． ∵a>0，b>0且a≠b，∴(a－b)2>0，a＋b>0， ∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2. (2)x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(