第二章 等式与不等式 章末复习-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【金版教程】创新导学案word（人教B版）

知识系统整合 堵点自记：________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 规律方法收藏 1．一元二次方程的解法 关于解方程，要依据一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的结构特点，灵活选用“分解因式法、配方法、公式法”几种方法． (1)若b＝0，直接开平方；若c＝0，用因式分解法． (2)若b，c都不为0，一般遵循“先分解因式法→后配方法→再公式法”的顺序，具体来说： ①如果能在有理数范围内分解因式，用分解因式法计算量小； ②当方程的一次项系数为偶数，且常数项的绝对值很大时，可以考虑用配方法； ③如果不能在有理数范围内分解因式，且方程的一次项系数为奇数，配方法可能计算量较大时，宜选用公式法来解，而公式法是万能法． 2．方程组的解法 (1)解一次方程组 解一次方程组时要根据方程组的特点灵活选择方法，当方程组中一个未知数的系数的绝对值是1或一个方程的常数项为0时，用代入法较方便；当方程组中同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较方便；利用加减法解一次方程组时，选择方程组中同一个未知数的系数绝对值较小的未知数消元，这样会使运算量较小． (2)解二元二次方程组 解二元二次方程组时，要先观察两个方程之间的关系，变换方程形式以达到代入消元或降次的目的，然后再根据解一次方程组的步骤进行求解． 3．不等式的性质问题 在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式”才可相加，“同向且两边同正的不等式”才可相乘．可乘性中的“c的符号”等都需要注意． 4．比较数(式)的大小 依据：a－b>0⇔a>b；a－b<0⇔a<b；a－b＝0⇔a＝b. 适用范围：若数(式)的大小不明显，作差后可化为积或商的形式． 步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论． 变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方法；④分子(分母)有理化． 5．解一元二次不等式的方法 (1)若一元二次不等式比较特殊并适合用因式分解的，一般应用因式分解法求解． (2)一般的一元二次不等式可以通过配方法来求得解集． 6．利用均值不等式求最值 (1)利用均值不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：一正、二定、三相等． 即①x，y都是正数； ②积xy(或和x＋y)为常数(有时需通过“配凑、分拆”凑出定值)； ③x与y必须能够相等(等号能够取到)． (2)构造定值条件的常用技巧 ①加项变换；②拆项变换；③统一换元；④平方后利用基本不等式． 7．利用均值不等式证明不等式 (1)充分利用条件是关键，要注意“1”的整体代换及几个“＝”必须保证同时成立． (2)利用均值不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式的性质和均值不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证结论，其特征是“由因导果”． (3)证明不等式时要注意灵活变形，可以多次利用均值不等式的变形形式． 学科素养培优 一、一元二次方程的解集 求一元二次方程的解集应熟练掌握解一元二次方程的方法：①直接开平方法；②配方法；③因式分解法；④公式法． [典例1]　求下列方程的解集： (1)4(3x－5)2＝(x－4)2； (2)y2－2y－8＝0； (3)x(x－3)＝4(x－1)． 解　(1)移项，得4(3x－5)2－(x－4)2＝0，分解因式，得[2(3x－5)＋(x－4)][2(3x－5)－(x－4)]＝0，化简，得(7x－14)(5x－6)＝0，所以7x－14＝0或5x－6＝0，得x1＝2，x2＝1.2.因此所求方程的解集为{1.2,2}． (2)移项，得y2－2y＝8，方程两边都加上1，得y2－2y＋1＝ 8＋1，所以(y－1)2＝9，所以y－1＝±3，得y1＝4，y2＝－2.因此所求方程的解集为{－2,4}． (3)将方程化为x2－7x＋4＝0，因为a＝1，b＝－7，c＝4，b2－4ac＝33，所以x＝＝，所以x1＝，x2＝.因此所求方程的解集为. 二、利用根与系数的关系，确定字母的取值 求参数的值是一元二次方程根与系数的关系的常见应用，其关键是由根与系数的关系列出关于参数的方程，然后求解即可． [典例2]　关于x的一元二次方程x2－(m－3)x－m2＝0. (1)证明：方程总有两个不相等的实数根； (2)设这个方程的两个实根为x1，x2，且|x1|＝|x2|－2，求m的值及方程的解集． 解　(1)证明：一元二次方程x2－(m－3)x－m2＝0， ∵a＝1，b＝－(m－3)＝3－m，c＝－m2， ∴Δ＝b2－4ac＝(3－m)2－4