1.2.3 第2课时 充要条件-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【金版教程】创新导学案word（人教B版）

第2课时　充要条件 (教师独具内容) 课程标准：通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系． 教学重点：掌握充要条件的概念，理解充要条件的意义，会判断条件与结论之间的充要性． 教学难点：判断条件与结论之间的充要性． 核心素养：1.通过学习充分不必要条件的概念、必要不充分条件的概念及充要条件的概念培养数学抽象素养.2.通过判断条件与结论之间的充要性培养逻辑推理素养． 知识点一　充分不必要条件 一般地，如果p⇒q且q p，则称p是q的充分不必要条件． 知识点二　必要不充分条件 如果p q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件． 知识点三　充要条件 (1)如果p⇒q且q⇒p，则称p是q的充分必要条件(简称为充要条件)，记作p⇔q，此时，也读作“p与q等价”“p当且仅当q”． (2)当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件． (3)充要条件与数学中的定义有关，一个数学对象的定义实际上给出了这个对象的一个充要条件． (4)除了充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件外，还存在p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件的情形，例如，当p：x>0，q：x2>2时就是如此． 1．从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A⊆B，则p是q的充分条件． (2)若B⊆A，则p是q的必要条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． (4)若A⊆B且BA，即AB，则p是q的充分不必要条件． (5)若B⊆A且AB，即BA，则p是q的必要不充分条件． (6)若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件． 若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件 若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件 若A＝B，则p，q互为充要条件 若AB且B⃘A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 2．“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(　　) (2)符号“⇔”具有传递性．(　　) (3)若pq和q不能推出p有一个成立，则p一定不是q的充要条件．(　　) (4)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充分不必要条件．(　　) (5)“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充要条件．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)“x2－3x＋2＝0”的充要条件是___________________________________． (2)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) (3)如果不等式x≤m成立的充分不必要条件是1≤x≤2，则m的最小值为________. 答案　(1)x＝1或x＝2　(2)充要　(3)2 题型一　充分、必要、充要条件的判断 例1　在下列各题中，试判断p是q的什么条件．(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”) (1)p：a＝b，q：ac＝bc； (2)p：x≥－2，q：－1<x<1； (3)p：a＋5是无理数，q：a是无理数； (4)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0； (5)p：|a|>|b|，q：a>b. [解]　(1)因为a＝b⇒ac＝bc，而ac＝bc不能推出a＝b，所以p是q的充分不必要条件． (2)设A＝{x|x≥－2}，B＝{x|－1<x<1}，因为BA，所以p是q的必要不充分条件． (3)因为a＋5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q的充要条件． (4)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，并且a＝b＝0⇒a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件． (5)因为当a＝－5，b＝1时，|a|>|b|成立，但是a<b，所以p q．当a＝1，b＝－2时，a>b成立，但是|a|<|b|，所以q p．所以p是q的既不充分也不必要条件． [题型探究]　已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问： (1)p是r的什么条件？ (2)s是q的什么条件？ (3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？ 解　作出“⇒”图，如右图所示，可知p⇒q，r⇒q，q⇒s，s⇒r. (1)p⇒q⇒s⇒r，且r⇒q，q能否推出p未知， ∴p是r的充分条件． (2)∵s⇒r⇒q，q⇒s，∴s是q的充要条件． (3)共有三对充要条件，q⇔s；