1.1.3 第2课时 全集与补集-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【金版教程】创新导学案word（人教B版）

第2课时　全集与补集 (教师独具内容) 课程标准：1.在具体情境中，了解全集的含义.2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集.3.能使用维恩图表达集合的补集运算，体会图形对理解抽象概念的作用． 教学重点：1.补集的定义(自然语言、符号语言、图形语言).2.会求集合的补集.3.能进行简单的“交”“并”“补”混合运算． 教学难点：“子”“交”“并”“补”的综合问题． 核心素养：1.通过对全集、补集概念的学习培养数学抽象素养.2.通过应用补集解决问题培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　全集 在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用U表示． 注意：全集不是固定不变的，是相对于研究的问题而言的，如在整数范围内研究问题，Z是全集；在实数范围内研究问题，R是全集；若只讨论大于0小于5的实数，可选{x|0<x<5}为全集．通常也把给定的集合作为全集． 知识点二　补集 自然语言 如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作∁UA，读作“A在U中的补集” 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 知识点三　补集运算的性质 给定全集U及其任意一个子集A，都有： (1)A∪(∁UA)＝U； (2)A∩(∁UA)＝∅； (3)∁U(∁UA)＝A. 1．求补集是集合的一种运算，其运算结果是一个集合(补集的定义就是告诉我们这个集合中的元素是什么)，这种运算有两个前提，一是必须有全集，二是求补集的这个集合必须是全集的子集． 2．集合的补集运算与实数的减法运算可进行类比 实数 集合 被减数a 被减集合(全集)A 减数b 减集合B 差a－b 补集∁AB 很明显，同一个集合，由于全集的不同，其补集也不相同(就好像同一个数，由于被减数不同，差也不同一样)． 3．给定全集U及其任意两个子集A，B，都有： (1)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)； (2)∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)设全集是U，集合A⊆U，若x是U中的任一元素，则要么x∈A，要么x∈∁UA，二者必居其一且只居其一．(　　) (2)全集没有补集．(　　) (3)同一个集合，对于不同的全集，其补集也不相同．(　　) (4)负整数集的补集是自然数集．(　　) (5)设全集为U，则对于任意集合A，只要A⊆U，则等式“A∪(∁UA)＝U”都成立．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√ 2．做一做 (1)设集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,2}，B＝{2,4}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{2} B．{3} C．{1,2,4} D．{1,4} (2)已知三个集合U，A，B之间的关系如图所示，则(∁UB)∩A＝(　　) A．{3} B．{0,1,2,4,7,8} C．{1,2} D．{1,2,3} 答案　(1)B　(2)C 题型一　补集运算 例1　(1)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2，3,4}，则∁UA＝(　　) A．{1,2,3,4,5} B．{1,5} C．{2,3,4} D．以上都不对 [解析]　因为U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,3,4}，所以∁UA＝{1,5}． [答案]　B (2)若集合A＝[－1,1)，当S分别取下列集合时，求∁SA. ①S＝R；②S＝(－∞，2]；③S＝[－4,1]． [解]　①把集合A表示在数轴上，如图所示． 由图知∁SA＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)． ②把集合S和A表示在数轴上，如图所示． 由图知∁SA＝(－∞，－1)∪[1,2]． ③把集合S和A表示在数轴上，如图所示． 由图知∁SA＝[－4，－1)∪{1}． 求集合补集的策略 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解．另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助维恩图来求解，这样处理相对来说比较直观、形象，且解答时不易出错． (2)如果所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解． [跟踪训练1]　(1)设全集U＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，集合A＝{x|x2＋x－2＝0}，则∁UA＝________. 答案　{－3，－1,0,2,3} 解析　因为A＝{x|x2＋x－2＝0}＝{x|(x＋2)(x－1)＝0}＝{－2,1}，所以∁UA＝{－3，－1，0,2,3}． (2)设全集U＝R，集合A＝(2,5]，则∁UA＝________. 答案　(－∞，2]∪(5，＋∞) 解析　用数轴表