1.3.2空间向量运算的坐标表示-【高效课堂】2022-2023学年高二数学同步精讲课件（人教A版2019选择性必修第一册）

1.3.2 空间向量运算的 坐标表示 问题引入 设 与平面向量运算的坐标表示一样，我们有： 问题1：有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？ 新知探索 下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示. 由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的.例如，我们有： 一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. 设为空间的一个单位正交基底，则， ，所以. 利用向量数量积的分配律以及 得 新知探索 类似平面向量运算的坐标表示，我们还可以得到： 当时，，，； . 新知探索 问题2：你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？ 所以. 这就是空间两点间的距离公式. 将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，不仅可以解决夹角和距离的计算问题，而且可以使一些问题的解决变得简单. 如图建立空间直角坐标系，设，是空间中任意两点，则. 于是. 例析 例2.如图，在正方体中，分别是，的中点.求证. 证明：不妨设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则所以. 又，，所以. 所以. 所以，即. 例析 例3.如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，分别在棱，上，， . (1)求的长.(2)求与所成角的余弦值. 解(1)：建立如图所示的空间直角坐标系，则点的坐标为点的坐标为. 于是. 例析 例3.如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，分别在棱，上，， .(2)求与所成角的余弦值. 解(2)：由已知，得，，，所以， 所以 所以 所以，与所成角的余弦值是. 练习 题型一：空间向量的坐标运算 例1.已知为坐标原点，三点的坐标分别是，，.求点的坐标，使：(1)；(2). 解：∵，， ∴.