专题2.3 勾股定理中的最短路线与翻折问题 专项讲练-2022-2023学年八年级数学上册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（浙教版）

专题2.3 勾股定理中的最短路线与翻折问题 专项讲练 勾股定理中的最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解。 题型1.圆柱有关的最短路径问题 【解题技巧】计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算。 要点总结： 1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 例1．（2022·山东青岛·八年级期末）如图，一个圆桶，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处，则小虫所爬的最短路径长是（       ）（取3） A．60cm B．40cm C．30cm D．20cm 【答案】A 【分析】先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理就可以求出其值． 【详解】解：展开圆柱的侧面如图， 根据两点之间线段最短就可以得知AB最短． 由题意，得AC=3×16÷2=24， 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 cm． ∵一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处， ∴最短路径长为60cm. 故选：A． 【点睛】本题考查了圆柱侧面展开图的运用，两点之间线段最短的运用，勾股定理的运用．在解答时将圆柱的侧面展开是关键． 变式1．（2022·吉林长春·八年级期末）如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝cm，高BC＝10cm，在BC的中点P处有一块蜂蜜，聪明的蚂蚁能够找到距离食物的最短路径，则蚂蚁从点A爬到点P的最短路程为 _____cm． 【答案】13 【分析】化“曲”为“平”，在平面内，得到两点的位置，再根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可． 【详解】将圆柱体的侧面展开，如图所示： AB＝底面周长＝××＝12（cm），BP＝BC＝5（cm）， 所以AP＝（cm）， 故蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为13cm， 故答案为：13． 【点睛】本题考查最短距离问题，化“曲”为“平”，在平面内，利用两点之间线段最短和勾股定理是常用求解方法． 变式2．（2022·浙江金华初三月考）如图，圆柱底面半径为cm，高为18cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（　　） A．24cm B．30cm C．2cm D．4cm 【答案】B 【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【解析】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB；即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；∵圆柱底面半径为cm，∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×＝8cm； 又∵圆柱高为18cm，∴小长方形的一条边长是6cm； 根据勾股定理求得AC＝CD＝DB＝10cm；∴AC+CD+DB＝30cm；故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆柱的计算、平面展开−−路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 题型2.长方体有关的最短路径问题想 【解题技巧】计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论。 要点总结：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三种情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。 例2．（2021·陕西八年级期末）如图，长方体的棱AB长为4，棱BC长为3，棱BF长为2，P为HG的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体的表面爬行到点处吃食物，那么它爬行的最短路程是___________． 【答案】5 【分析】利用平面展开图有3种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可． 【详解】解：分三种情况：如图1，, 如图2，，∴AP=5， 如图3，， ， 它爬行的最短路程为5，故答案为：5． , 【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有3种情况分析得出是解题关键． 变式1.（2022·重庆八年级期中）如图，长方体的底面边长是1cm和3cm，高是6cm，如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达，那么用细线