专题2.5 直线与圆、圆与圆的位置（7类必考点）-2022-2023学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题2.5 直线与圆、圆与圆的位置 【考点1：直线与圆的位置关系的判断及求参】 1 【考点2：直线与圆位置关系中的最值问题】 3 【考点3：直线与圆的交点坐标、弦长】 5 【考点4：圆的切线方程、切点坐标、切线长】 8 【考点5：圆与圆的位置关系的判断及求参】 11 【考点6：圆的公共弦、公切线】 13 【考点7：圆与圆位置关系中的最值问题】 16 【考点1：直线与圆的位置关系的判断及求参】 【知识点：直线与圆的位置关系的判断及求参】 ①直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离． ②两种研究方法 1．（2021秋•昭阳区校级月考）直线3x+4y﹣5＝0与圆x2+y2＝1的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 【分析】由圆的方程可得圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离d，可判断直线与圆相切． 【解答】解：圆x2+y2＝1的圆心为（0，0），半径r＝1， 所以圆心（0，0）到直线3x+4y﹣5＝0的距离d1＝r， 所以直线与圆相切， 故选：B． 2．（2021秋•上虞区期末）对任意实数k，直线（3k+2）x﹣ky﹣2＝0与圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣3＝0的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．与k有关 【分析】将直线（3k+2）x﹣ky﹣2＝0化为（3x﹣y）k+2x﹣2＝0，求得直线过的定点，然后判断点与圆的位置关系即可． 【解答】解：将圆的方程化为标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝5，则圆的圆心为（1，1），半径为， 直线（3k+2）x﹣ky﹣2＝0可化为（3x﹣y）k+2x﹣2＝0， 由，解得， 所以直线过定点（1，3）， 因为（1﹣1）2+（3﹣1）2＝4＜5， 所以点（1，3）在圆内， 所以直线与圆相交． 故选：A． 3．（2022秋•大理市校级月考）若圆x2+y2＝1上总存在两个点到点（a，1）的距离为2，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣2，0）∪（0，2） B．（﹣2，2） C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣1，1） 【分析】求出圆的圆心与半径，利用两点间距离公式列出不等式求解即可． 【解答】解：圆x2+y2＝1的圆心（0，0），半径为1，圆x2+y2＝1上总存在两个点到点（a，1）的距离为2， 可得：1，解得a∈（﹣2，0）∪（0，2）． 故选：A． 4．（2022春•信州区期末）已知直线y＝kx﹣2与圆（x﹣1）2+y2＝1相交，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】由题意利用点到直线的距离小于半径，求出k的范围即可． 【解答】解：由题意可知圆的圆心坐标为（1，0），半径为1， 因为直线y＝kx﹣2与圆（x﹣1）2+y2＝1相交，所以1， 解得k∈（，+∞）． 故选：D． 5．（2021秋•萍乡期末）若圆x2+y2﹣2x+4y﹣a＝0与直线（2m﹣1）x+my﹣3＝0始终有交点，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣5，75） B．[75，+∞） C．（﹣5，+∞） D．（75，+∞） 【分析】由题意首先将圆的方程转化为标准方程，然后确定直线所过的定点，最后利用点与圆的位置关系即可求得实数a的取值范围． 【解答】解：圆的方程即（x﹣1）2+（y+2）2＝a+5， 据此可得a+5＞0，∴a＞﹣5， 直线方程即m（2x+y）﹣（x+3）＝0，故直线恒过定点（﹣3，6）， 满足题意时，定点应该在圆内或者圆上， 故（﹣3﹣1）2+（6+2）2≤a+5，即a≥75， 综上可得，实数a的取值范围是[75，+∞）． 故选：B． 6．（2022春•沙坪坝区校级期末）若圆x2+y2+2x+4y﹣3＝0上到直线x+2y+a＝0的距离等于的点恰有3个，则实数a的值为 　或　． 【分析】首先将圆的方程整理为标准方程，然后结合圆的性质得到关于a的方程，解方程即可确定实数a的值． 【解答】解：圆的方程即（x+1）2+（y+2）2＝8，则圆的圆心为（﹣1，﹣2），半径为， 则满足题意时，圆心到直线x+2y+a＝0的距离为， 即，解得：． 故答案为：或． 【考点2：直线与圆位置关系中的最值问题】 【知识点：直线与圆位置关系中的最值问题】 1．（2022•西城区校级开学）过点（1，1）的直线l与圆C：x2﹣4x+y2＝0相交于A，B两点，则|AB|的最小值是（　　） A． B．2 C．3 D．4 【分析】根据题意，设M（1，1），圆x2+y2﹣4x＝0的圆心为C，分析圆C的圆心以及半径，求出C到直线的距离，由直线与圆的位置关系可得当d最大时，弦长|AB|最小，而d的最大值为|MC|，据此计算可得答案． 【解答】解：根据题意，设M（1，1），圆C：x2+y2﹣4x＝0的圆心为C， 圆C：x2+y2﹣4x＝0，即（x﹣2）2+y2＝4，圆心C为（2，0），半径r＝2