第02讲 幂指对函数比较大小（七大解题方法四种题型）-冲刺2023年高考数学热点、重难点题型解题方法与策略+真题演练（新高考专用）

第02讲 幂指对函数比较大小（七大解题方法四种题型） 【温馨提醒】自2017年来，常规指对幂比大小已经不能满足各省份要求了，特别是2022年高考卷指对幂比大小，题型越来越“刁钻”，常规解法根本不够用，如今是热点题型之一！ 【解题方法】 方法一：运用函数的单调性比较 1.对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f（）外衣”比较大小； 2.有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数单调性对称性，以用于比较大小. 方法二：因为幂指对函数的特殊性，往往比较大小，可以借助于临界值0与1（或者-1）比较大小. 方法三：寻找中间变量是属于难点，可以适当的总结积累规律 1.估算要比较大小的两个值所在的大致区间 2.可以对区间使用二分法（或者利用指对转化）寻找合适的中间值 方法四：作差法、作商法 1. 一般情况下，作差或者做商，可处理底数不一样的的对数比大小 2. 作差或者做商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧和方法解 方法五：利用对数运算分离常数比大小 这是对数值所独有的技巧，类似于分式型的分离常数，借助此法可以把较复杂的数据，转化为某一单调区间，或者某种具有单调性的形式，以利于比较大小 方法六：构造函数 学习和积累“构造函数比大小”，要先从此处入手，通过这个函数，学习观察，归纳，总结“同构”规律，还要进一步总结“异构”规律，为后续积累更复杂的“构造函数”能力做训练. 构造函数，.观察总结“同构”规律，许多时候，三个数比较大小，可能某一个数会被刻意的隐藏了“同构”规律，所以可以优先从结构最接近的两个数规律. 方法七：放缩法 1、对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数 2、指数和幂函数结合来放缩。 3、利用均值不等式等不等关系放缩 方法八：“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以以该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系，2021年全国卷乙卷第12题即是此思维. 【热点题型】 题型一：奇偶性、单调性比较 一．选择题（共6小题） 1．（2022•松山区校级模拟）已知，，，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c 【分析】首先构造函数f（x）＝lnx+，再求导确定函数单调性即可比较大小． 【解答】解：设f（x）＝lnx+，（x＞0），所以a＝f（2），b＝f（3），c＝＝＝＝lne+＝f（e）． 又因为f′（x）＝，且x2+x+1＝（x+）2+＞0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）单调递增． 因为2＜e＜3，所以f（2）＜f（e）＜f（3），即a＜c＜b，所以B选项正确． 故选：B． 【点评】本题主要考查对数比较大小，构造函数以及导数相关知识点，属于中档题． 2．（2022•东湖区校级三模）已知a＝log29，b＝e0.6，c＝20.55，则a，b，c的大小关系为（　　） A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b 【分析】通过临界值即与函数的单调性即可比较大小． 【解答】解：因为a＝log29＞log28＝3，b＝e0.6＜e1≈2.7，所以a＞b． 又因为e＞e0.55＞20.55，所以b＞c，所以选项C正确． 故选：C． 【点评】本题主要考查指数对数运算，属于简单题． 3．（2022•海拉尔区校级四模）sin2，20.1，log0.12的大小关系为（　　） A．sin2＞20.1＞log0.12 B．20.1＞sin2＞log0.12 C．20.1＞log0.12＞sin2 D．sin2＞log0.12＞20.1 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解． 【解答】解：由题意知， 0＜sin2＜1， 20.1＞1， log0.12＜0， 故log0.12＜sin2＜20.1， 故选：B． 【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用． 4．（2022•滨海新区校级模拟）已知，，，则a，b，c的大小关系是（　　） A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性比较三个数的大小． 【解答】解：＝20.6，＝， 故1＜20.6＜＜2， 即1＜a＜c＜2， 又∵＞＝2， ∴a＜c＜b， 故选：C． 【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性的应用，属于基础题． 5．（2022•天津模拟）设，b＝0.50.8，c＝0.8﹣0.5，则a、b、c的大小关系为（　　） A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜a＜b 【分析】利用对数函数的单调性可判断＜0.5，再利用指数函数的单调性判断b、c即可． 【解答】解：∵＜ln＝0.5， 0.5＝0.51＜0.50.8