4.3 等比数列（教案）-2022-2023学年高二数学教材配套教案（人教A版2019选择性必修第二册）

4.3 等比数列 · 考纲要求 1．理解等比数列的概念及等比数列与指数函数的关系． 2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式． 3．熟练掌握等比数列的基本运算和相关性质． 4．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题． · 知识解读 知识点①等比数列的有关概念 1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q. 2．等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab. · 在等比数列{an}中，任取相邻的三项an，an＋1，an＋2，an＋1是an与an＋2的等比中项，即a＝anan＋2． 知识点②等比数列的通项公式和前n项和公式 1．通项公式：an＝a1qn－1. 2．前n项和公式：Sn＝． 知识点③等比数列的常用性质 1．通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)． 2．若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq；若2s＝p＋r，则apar＝a，其中m，n，p，q，s，r∈N*. 3．若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列． 4．在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk. 5．Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成等比数列(当q＝－1时，k不为偶数)． 6．当q≠0，q≠1时，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件，此时k＝. 7．当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；当q＝1时，{an}是常数列；当q＝－1时，{an}是摆动数列． · 题型讲解 题型一、等比数列基本量的运算 例1．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝6，a4＋a5＝48，则数列{an}前8项的和S8＝(　　) A．510 B．126 C．256 D．512 【答案】A 【解析】由a1＋a2＝6，a4＋a5＝48得 得a1＝2，q＝2，则数列{an}前8项的和S8＝＝510. 例2．(2020·全国Ⅱ)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】a1＝2，am＋n＝aman， 令m＝1，则an＋1＝a1an＝2an， ∴{an}是以a1＝2为首项，q＝2为公比的等比数列， ∴an＝2×2n－1＝2n. 又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25， ∴＝215－25， 即2k＋1(210－1)＝25(210－1)， ∴2k＋1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4. 例3．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝，则S4＝________. 【答案】　 【解析】设等比数列的公比为q，则an＝a1qn－1＝qn－1. ∵a1＝1，S3＝，∴a1＋a2＋a3＝1＋q＋q2＝， 即4q2＋4q＋1＝0，∴q＝－， ∴S4＝＝. 例4．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通项公式； (2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m. 【答案】(1)an＝(－2)n－1或an＝2n－1 (2)m＝6 【解析】(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1. 由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1. (2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝. 由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解． 若an＝2n－1，则Sn＝2n－1. 由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6. 综上，m＝6. 题型二、等比中项的应用 例1．公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C　 【解析】由题意得，2a5a6＝18，a5a6＝9，∴a1am＝a5a6＝9，∴m＝10. 例2．已知数列{an}为等比数列，其前n项和为Sn，若a2a6＝－2a7，S3＝－6，则a6等