第10章 空间直线与平面（B卷·能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（沪教版2020必修第三册）

班级 姓名 学号 分数 第10章 空间直线与平面（B卷·能力提升练） （时间：120分钟，满分：150分） 一、填空题(共54分) 1．(本题4分)（2021·上海市七宝中学高二期中）在三棱锥中，已知平面，，则以，，，为顶点的直角三角形的个数为________. 【答案】4 【分析】利用线面垂直的性质及判定可得， ，，结合，即可知以，，，为顶点的直角三角形的个数. 【详解】 由题设，平面，面，则，，， ∴△、△都为直角三角形， 又，易知△为直角三角形， 由，即面，而面， ∴，则△为直角三角形， 综上，以，，，为顶点的直角三角形的个数为4. 故答案为：4 2．(本题4分)（2022·上海虹口·高二期末）在正四面体中，直线与所成角的大小为________． 【答案】 【分析】根据空间位置关系直接证明判断即可. 【详解】 如图所示， 取中点，连接，， 由已知为正四面体， 则，均为正三角形， 所以，， 所以平面， 故， 即直线与直线的夹角为， 故答案为：. 3．(本题4分)（2018·上海中学高二期中）如图，矩形ABCD的长AB=2，宽AD=x，若PA⊥平面ABCD，矩形的边CD上至少有一个点Q,使得PQ⊥BQ，则x的范围是____________． 【答案】0<x≤1 【详解】试题分析：由PA⊥平面ABCD，PQ⊥BQ，可得BQ⊥AQ，从而问题可转化为以AB为直径的圆与与线段CD有公共点．解：如图所示：连接AQ，因为PA⊥平面ABCD，BQ⊥PQ，BQ⊂平面ABCD，所以BQ⊥AQ，矩形的边CD上至少有一个点Q，可转化为以AB为直径的圆与与线段CD有公共点，所以圆心到CD的距离小于等于半径，即0＜x≤1．故答案0<x≤1 考点：空间直线与直线的垂直关系 点评：本题考查空间直线与直线的垂直关系，考查推理论证能力． 4．(本题4分)（2020·上海·华师大二附中高二期中）已知正三角形的边长，则到三个顶点的距离都为2的平面有___个； 【答案】8 【分析】分类讨论，三个顶点都在平面的同一侧，三个顶点在平面的两侧，一侧一个，另一侧两个． 【详解】若此平面与平面平行，这样的平面有2个到三顶点距离为； 若此平面与平面相交， 则一定过三角形其中两边的中点， 由于三角形边长为， 因此如过的