专题22.5 一元二次方程的实际应用【九大题型】-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（华东师大版）

专题22.5 一元二次方程的实际应用【九大题型】 【华东师大版】 【题型1 数字问题】 1 【题型2 平均变化率问题】 3 【题型3 销售利润问题】 4 【题型4 传播问题】 6 【题型5 循环问题】 8 【题型6 树枝分叉问题】 10 【题型7 工程问题】 11 【题型8 图形问题】 14 【题型9 面积问题】 17 【题型1 数字问题】 【例1】（2022•苏州期末）一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所形成的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数． 【分析】可设个位数字为未知数，利用两个数字和为6表示出十位数字，根据新两位数×原来的两位数＝1008列方程求得个位上的数字及十位上的数字，再求原来的两位数即可． 【解答】解：设原两位数的个位数字为x，十位数字为（6﹣x）， 根据题意可知，[10（6﹣x）+x][10x+（6﹣x）]＝1008， 即x2﹣6x+8＝0， 解得x1＝2，x2＝4， ∴6﹣x＝4，或6﹣x＝2， ∴10（6﹣x）+x＝42或10（6﹣x）+x＝24， 答：这个两位数是42或24． 【变式1-1】（2022•沙坪坝区校级模拟）小北同学在学习了“一元二次方程”后，改编了苏轼的诗词《念奴娇•赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位小3，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则可列方程（　　） A．10（x+3）+x＝x2 B．10（x﹣3）+x＝（x﹣3）2 C．10（x﹣3）+x＝x2 D．10（x+3）+x＝（x﹣3）2 【分析】根据“该数的十位数字比个位小3，个位的平方恰好等于该数”列方程即可． 【解答】解：根据题意，可得10（x﹣3）+x＝x2， 故选：C． 【变式1-2】（2022•浦东新区校级期末）已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是 　84　． 【分析】设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为（x+4），根据个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再将其非负整数代入[10（x+4）+x]中即可求出结论． 【解答】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为（x+4）， 依题意得：x2+（x+4）2﹣[10（x+4）+x]＝﹣4， 整理得：x1＝4，x2＝﹣5． 又∵x为非负整数， ∴x＝4， ∴10（x+4）+x＝10×（4+4）+4＝84． 故答案为：84． 【变式1-3】（2022•秦都区期末）解读诗词（通过列方程算出周瑜去世时的年龄）： 大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数， 十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ 诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字小三，个位数字的平方等于他去世时的年龄． 【分析】设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x﹣3．根据题意建立方程求出其值就可以求出其结论． 【解答】解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x﹣3，依题意得： 10（x﹣3）+x＝x2， 解得x1＝5，x2＝6， 当x＝5时，25＜30，（不合题意，舍去）， 当x＝6时，36＞30（符合题意）， 答：周瑜去世时的年龄为36岁． 【题型2 平均变化率问题】 【例2】（2022春•钟山县期末）某商品原价为20元，连续两次降价后售价为8元，设平均降价率为x，根据题意，可列方程为（　　） A．20（1+x）2＝8 B．8（1+x）2＝20 C．20（1﹣x）2＝8 D．8（1﹣x）2＝20 【分析】设该商品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是20（1﹣x），第二次后的价格是20（1﹣x）2，据此即可列方程． 【解答】解：由题意可得， 20（1﹣x）2＝8， 故选：C． 【变式2-1】（2022•安徽二模）某市决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（　　） A．20% B．11% C．22% D．44% 【分析】可设这两年平均每年的增长率为x，因为经过两年时间，让市区绿地面积增加44%，则有（1+x）2＝1+44%，解这个方程即可求出答案． 【解答】解：设这两年平均每年的绿地增长率为x，根据题意得， （1+x）2＝1+44%， 解得x1＝﹣2.2（舍去），x2＝0.2． 答：这两年平均每年绿地面积的增长率