专题22.4 一元二次方程根与系数的关系【八大题型】-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（华东师大版）

专题22.4 一元二次方程根与系数的关系【八大题型】 【华东师大版】 【题型1 由根与系数的关系求代数式的值（直接）】 1 【题型2 由根与系数的关系求代数式的值（代换）】 3 【题型3 由根与系数的关系求代数式的值（降次）】 4 【题型4 由方程两根满足关系式求字母系数的值】 6 【题型5 构造一元二次方程求代数式的值】 9 【题型6 已知方程根的情况判断另一个方程】 11 【题型7 根与系数关系中的新定义问题】 14 【题型8 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】 19 【知识点 一元二次方程的根与系数的关系】 如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 【题型1 由根与系数的关系求代数式的值（直接）】 【例1】（2022•江安县模拟）若α、β是一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的两根，则的值是 　 　． 【分析】根据根与系数的关系可得α+β，αβ，再根据完全平方公式以及分式的加法法则即可求出代数式的值． 【解答】解：∵α+β，αβ， ∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ， ∴， 故答案为：． 【变式1-1】（2021秋•密山市校级期末）若x1，x2是一元二次方程x2﹣7x+5＝0的两根，则（x1﹣1）（x2﹣1）的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2、x1x2的值，再代入计算即可． 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣7x+5＝0的两根， ∴x1+x2＝7；x1x2＝5． 则（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝5﹣7+1＝﹣1． 故选：B． 【变式1-2】（2022•汉川市模拟）已知实数a、b满足|b+3|＝0，若关于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的两个实数根分别为x1、x2，则的值是（　　） A． B． C．2 D． 【分析】根据非负数的性质得出a＝2，b＝3，根据根与系数的关系可得x1+x2＝2，x1•x2＝3，将变形为，整体代入即可求得． 【解答】解：∵实数a、b满足|b+3|＝0， ∴a＝2，b＝﹣3， ∵关于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的两个实数根分别为x1、x2， ∴x1+x2＝a＝2，x1•x2＝b＝﹣3， ∴， 故选：A． 【变式1-3】（2022春•琅琊区校级月考）若α，β（α≠β）是一元二次方程x2﹣5x﹣14＝0的两个根，则α﹣β的值为（　　） A．﹣9 B．9 C．﹣9或9 D．﹣5或5 【分析】利用根与系数的关系可得出α+β＝5，α•β＝﹣14，将其代入（α﹣β）2＝（α+β）2﹣4α•β中可求出（α﹣β）2的值，开方后即可求出α﹣β的值． 【解答】解：∵α，β（α≠β）是一元二次方程x2﹣5x﹣14＝0的两个根， ∴α+β＝5，α•β＝﹣14， ∴（α﹣β）2＝（α+β）2﹣4α•β＝52﹣4×（﹣14）＝81， ∴α﹣β＝±9． 故选：C． 【题型2 由根与系数的关系求代数式的值（代换）】 【例2】（2022•乳山市模拟）若x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0的两个根，则3x12﹣3x1+x22＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2，x1x2，将3x12﹣3x1+x22变形后求值即可． 【解答】解：∵x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0的两个根， ∴x1+x2，x1x2，2x12﹣3x1+1＝0， ∴3x12﹣3x1+x22 ＝2x12﹣3x1+x12+x22 ＝﹣1 ＝﹣11 ， 故选：A． 【变式2-1】（2022•牟平区一模）已知一元二次方程x2﹣2022x+1＝0的两个根分别为x1，x2，则x121的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．﹣2022 D．﹣2021 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到x12+1＝2022x1，则x121变形为2022，再根据根与系数的关系得到x1x2＝1，然后利用整体的方法计算即可． 【解答】解：∵x＝x1为方程x2﹣2022x+1＝0的根， ∴x12﹣2022x1+1＝0， ∴x12+1＝2022x1， ∴x121＝2022x12022， ∵方程x2﹣2022x+1＝0的两个根分别为x1，x2， ∴x1x2＝1， ∴x121＝20220． 故选：B． 【变式2-2】（2022•东港区校级一模）若m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，则m2﹣6m﹣n+2022的值是（　　） A．2016 B．2018 C．2020 D．2022 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2﹣5m