专题22.2 解一元二次方程【八大题型】-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（华东师大版）

专题22.2 解一元二次方程的【八大题型】 【华东师大版】 【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】 1 【题型2 用配方法解一元二次方程】 2 【题型3 用公式法解一元二次方程】 4 【题型4 用因式分解法解一元二次方程】 5 【题型5 用指定方法解一元二次方程】 6 【题型6 用适当的方法解一元二次方程】 12 【题型7 用换元法解一元二次方程】 14 【题型8 配方法的应用】 17 【知识点1 直接开平方法解一元二次方程】 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法. 直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为或的形式； ②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解. 【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】 【例1】（2022•建华区二模）解方程：（x﹣2）20（开平方法）． 【分析】先把方程变形为（x﹣2）2，再两边开方得到x﹣2＝±，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：（x﹣2）20， （x﹣2）2， （x﹣2）2， x﹣2＝±， 所以x1，x2． 【变式1-1】（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2（开平方法）． 【分析】方程开方转化为一元一次方程，求出解即可． 【解答】解：方程：（2x+3）2＝（3x+2）2， 开方得：2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣3x﹣2， 解得：x1＝1，x2＝﹣1． 【变式1-2】（2021秋•徐汇区校级月考）解方程：4（x+1）2﹣9（x﹣2）2＝0（开平方法）． 【分析】直接开方，再解一元一次方程即可． 【解答】解：4（x+1）2＝9（x﹣2）2， ∴2（x+1）＝±3（x﹣2）， ∴x1＝8，x2． 【变式1-3】（2022春•黄浦区校级期中）解关于x的方程：x2﹣3＝1+ax2（a≠1）（开平方法）． 【分析】方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解． 【解答】解：方程整理得：（a﹣1）x2＝﹣4，即x2， 当1﹣a＞0，即a＜1时，x＝±±； 当1﹣a＜0，即a＞1时，无解． 【知识点2 配方法解一元二次方程】 将一元二次方程配成的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为的形式；②方程两边同除以二 次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④ 把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法 来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 【题型2 用配方法解一元二次方程】 【例2】（2022春•淄川区期中）（1）请用配方法解方程2x2﹣6x+3＝0； （2）请用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）． 【分析】（1）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半系数平方，利用完全平方公式变形，开方即可求出解； （2）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半系数平方，利用完全平方公式变形，开方即可求出解． 【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣3x， 配方得：x2﹣3x，即（x）2， 开方得：x±， 解得：x1，x2； （2）方程整理得：x2x， 配方得：x2x，即（x）2， 开方得：x±， 解得：x1，x2． 【变式2-1】（2022秋•松江区期末）用配方法解方程：． 【分析】两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得． 【解答】解：∵， ∴x2﹣2x+5＝4+5，即（x）2＝9， ∴x3或x3， ∴x1＝3，x2＝﹣3． 【变式2-2】（2022秋•伊川县期中）用配方法解方程：4x2﹣8x﹣7＝0． 【分析】根据配方法的步骤先把二次项系数化为1，再在等式左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，然后开方即可． 【解答】解：4x2﹣8x﹣7＝0， 4x2﹣8x＝7， x2﹣2x， 配方得x2﹣2x+121， （x﹣1）2， x﹣1＝±， x＝1±， ∴x1＝1，x2＝1． 【变式2-3】（2022秋•潢川县期末）解方程：2x2﹣5x+1＝0（用配方法） 【分析】将常数项移到右边后把二次项系数化为1，再两边配上一次项系数一半的平方求解可得． 【解答】解：∵2x2﹣5x＝﹣1， ∴x2x， ∴x2x，即（x）2， 则x±， ∴x． 【知识点3 公式法解一元二次方程】 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个 式子叫做一元二次方程的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解 一元二次方程的方法叫做公式法. 【题型3 用公式法解一元二次方程】 【例3】（2022春•通州区校级月考）用公式法解方程：2a2﹣3＝﹣4a． 【分析】先把原方程化