专题22.1 一元二次方程的定义及解【八大题型】-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（华东师大版）

专题22.1 一元二次方程的定义及解【八大题型】 【华东师大版】 【题型1 一元二次方程的识别】 9 【题型2 由一元二次方程的定义求字母的取值范围】 11 【题型3 由一元二次方程的定义求字母的值】 12 【题型4 一元二次方程的一般形式】 13 【题型5 由一元二次方程的解求字母的值】 14 【题型6 由一元二次方程的解求代数式的值】 15 【题型7 由一元二次方程的解求代数式的值（降次）】 17 【题型8 已知一元二次方程的根求另一方程的根】 18 【知识点1 一元二次方程的定义】 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 【题型1 一元二次方程的识别】 【例1】（2021秋•恩施市期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） ①3x2+7＝0：②ax2+bx+c＝0；③（x﹣2）（x+5）＝x2﹣1；④3x0． A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【解答】解：①3x2+7＝0一定是一元二次方程； ②ax2+bx+c＝0，当a＝0时不是一元二次方程； ③（x﹣2）（x+5）＝x2﹣1整理得，3x﹣9＝0，是一元一次方程； ④3x0是分式方程． 故选：A． 【变式1-1】（2021秋•蓬溪县期末）下列方程中，一元二次方程有（　　） ①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③；④x2＝1；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答． 一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程； （4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【解答】解：①符合一元二次方程定义，正确； ②方程含有两个未知数，错误； ③不是整式方程，错误； ④符合一元二次方程定义，正确； ⑤符合一元二次方程定义，正确． 故选：B． 【变式1-2】（2021秋•荥阳市校级月考）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的有（　　） ①x2＝0； ②ax2+bx+c＝0； ③a2+a﹣x＝0； ④（x+1）2＝2x2﹣9； ⑤x2﹣y2＝3． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】利用一元二次方程的定义判断即可． 【解答】解：①x2＝0是一元二次方程，符合题意； ②ax2+bx+c＝0（a≠0）是一元二次方程，不符合题意； ③a2+a﹣x＝0是二元二次方程，不符合题意； ④（x+1）2＝2x2﹣9是一元二次方程，符合题意； ⑤x2﹣y2＝3是二元二次方程，不符合题意意． 故选：A． 【变式1-3】（2021秋•义马市期中）下列方程：①y2+2x＝0；②x2＝0；③（x2﹣1）2＝1；④3y2﹣2y＝﹣1；⑤2x2﹣5xy+3y2＝0；⑥ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数）；⑦2＝0；⑧（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1．其中属于一元二次方程的有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．6 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【解答】解：①y2+2x＝0含有两个未知数，不是一元二次方程； ②x2＝0是一元二次方程； ③（x2﹣1）2＝1，未知数的最高次数是4次，不是一元二次方程； ④3y2﹣2y＝﹣1是一元二次方程； ⑤2x2﹣5xy+3y2＝0含有两个未知数，不是一元二次方程； ⑥ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数），当a＝0时，不是一元二次方程； ⑦2＝0是分式方程； ⑧（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，整理后不含未知数，不是一元二次方程． 所以属于一元二次方程的有②④，共2个． 故选：A． 【题型2 由一元二次方程的定义求字母的取值范围】 【例2】（2021秋•龙岗区校级期末）关于x的方程（a2+1）x2+2ax﹣6＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（　　） A．a≠±1 B．a≠0 C．a 为任何实数 D．不存在 【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案． 【解答】解：∵关于x的方程（a2+1）x2+2ax﹣6＝0是一元二次方程， 可得a2+1不可能为0， ∴a 为任何实数． 故选：C． 【变式2-1】（2021秋•河口县期末）已知（m﹣2）xn﹣3nx+2＝0是关于x的一元二次方程，则（　　） A．m≠0，n＝2 B．m≠2，n＝2 C．m≠0，n＝3 D．m≠2，n≠0 【分析】根据一元二次方程的定义列出关于m，n的方程，求出m，n的值即可． 【解答】解：∵（m﹣2）xn﹣3nx+2＝0是关于x的一元二次方程， ∴m﹣2≠0，n＝2， 解得m≠2，n＝2