专题1.7 空间向量及其运算的坐标表示-重难点题型精讲-2022-2023学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.7 空间向量及其运算的坐标表示-重难点题型精讲 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz. ②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2．空间一点的坐标 在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 3．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 4．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 5．空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有 当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； |a|＝＝； cos〈a，b〉＝＝ . 6．空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点， 则P1P2＝||＝. 【题型1 求空间点的坐标】 【方法点拨】 (1)求某点M的坐标的方法： 作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在 z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z)． (2)空间点对称问题的解题策略： ①空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解． ②对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论． 【例1】（2022春•溧阳市期中）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，则点A1的坐标为（　　） A．（0，4，7） B．（﹣2，0，1） C．（2，0，﹣1） D．（2，0，1） 【解题思路】点A1的坐标为（a，b，c），由，能求出点A1的坐标． 【解答过程】解：平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，， 设点A1的坐标为（a，b，c）， 则由，得（﹣1﹣a，2﹣b，4﹣c）＝（1，2，3）， 解得a＝﹣2，b＝0，c＝1， 则点A1的坐标为（﹣2，0，1）． 故选：B． 【变式1-1】（2021秋•蕲春县期中）设点M（1，1，1），A（2，1，﹣1），O（0，0，0）．若，则点B的坐标为（　　） A．（1，0，﹣2） B．（3，2，0） C．（1，0，2） D．（3，﹣2，0） 【解题思路】根据空间向量的线性坐标运算法则，即可得解． 【解答过程】解：设B（x，y，z），则（x﹣2，y﹣1，z+1）， 因为，（1，1，1）， 所以（1，1，1）＝（x﹣2，y﹣1，z+1）， 所以x＝3，y＝2，z＝0，即点B为（3，2，0）． 故选：B． 【变式1-2】（2020秋•西昌市期末）空间直角坐标系中，点P（﹣1，2，﹣3）关于平面yOz对称的点P1的坐标为（　　） A．（﹣1，﹣2，﹣3） B．（1，2，﹣3） C．（1，﹣2，﹣3） D．（1，2，3） 【解题思路】直接利用点关于面的对称的应用求出结果． 【解答过程】解：空间直角坐标系中，点P（﹣1，2，﹣3）关于平面yOz对称的点P1的坐标为B（1，2，﹣3）． 故选：B． 【变式1-3】（2021秋•新源县期末）如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C是边长为2菱形，∠CBB1＝60°，