第03讲 绝对值相加求最值问题专题探究-【专题突破】2022-2023学年七年级数学上册重难点及章节分类精品讲义(浙教版)

第3讲 绝对值相加求最值问题专题探究 【知识点睛】 · 绝对值内表达式加减的几何意义 |a|：表示一个数a在数轴上对应的点与原点之间的距离 |x-a|：表示数轴上的数x到数a的距离 |x+a|：因为|x+a|=|x-(-a)|,所以可表示数轴上的数x到数-a的距离 · 绝对值相加求最小值的方法总结： ①|x-a|最小值=0 点x与点a重合（即x=a） ②|x-a|+|x-b|：表示数轴上点x到点a、点b的距离之和 当|x-a|+|x-b|取最小值时 点x位于点a、点b之间（可以与a、b重合） |x-a|+|x-b|最小值=|a-b| ③|x-a|+|x-b|+|x-c|：表示数轴上点x到点a的距离、点x到点b的距离和点x到点c的距离之和 若a＜b＜c，则当点x与点b重合时 |x-a|+|x-b|+|x-c|最小值=c-a · 易错技巧总结： 若求|x-a|+|x+b|、|x-a|+|x+b|+|x-c|等类型的最小值，则表示求点x到点a、点-b的距离之和最小，将-b表示出来后，方法同上 【类题训练】 1．式子﹣6+|x+2|的最小值为 　 　． 【分析】根据绝对值的非负性解决此题． 【解答】解：∵|x+2|≥0， ∴﹣6+|x+2|≥﹣6． ∴式子﹣6+|x+2|的最小值为﹣6． 故答案为：﹣6． 2．已知a＜0且|2a|x≤3a，则|2x﹣1|﹣|x﹣2|最小值为 　 　． 【分析】先根据条件，求出x的取值范围，再去绝对值符号，化简后求最值． 【解答】解：∵a＜0，|2a|x≤3a， ∴x≤＝， ∴原式＝1﹣2x﹣（2﹣x） ＝﹣1﹣x． 当x＝时，取最小值． 故答案为：． 3．代数式|x+1009|+|x+506|+|x﹣1012|的最小值是 　 　． 【分析】利用绝对值的定义，结合数轴可知最小值为1012到﹣1009的距离． 【解答】解：∵|x+1009|＝|x﹣（﹣1009）|，|x+506|＝|x﹣（﹣506）|， 由绝对值的定义可知：|x+1009|代表x到﹣1009的距离；|x+506|代表x到﹣506的距离；|x﹣1012|代表x到1012的距离； 结合数轴可知：当x在﹣1009与1012之间，且x＝﹣506时，距离之和最小， ∴最小值＝1012﹣（﹣1009）＝2021， 故答案为：2021． 4．如果a＝|x+1|，b＝|x﹣1|，c＝|x+3|，那么代数式a+b+c的最小值为 　 　． 【分析】把a+b+c化为绝对值的和，再利用绝对值的几何意义求出最小值． 【解答】解：a+b+c＝|x+3|+|x+1|+|x﹣1|． 由绝对值的几何意义，可知|x+3|+|x﹣1|≥|1﹣（﹣3）|＝4， 又|x+1|≥0， 所以a+b+c最小值为4． 故答案为：4． 5．已知有理数a，b，c都不为零，那么++﹣的最大值是 　 　，最小值是 　 　． 【分析】由题意可知，当a、b、c都取正数时，代数式有最大值是2，当a、b、c都取负数时代数式有最小值是﹣2， 【解答】解：当a、b、c都取正数时， ++﹣ ＝ ＝1+1+1﹣1 ＝2， ∴代数式有最大值m＝2， 当a、b、c都取负数时， ++﹣ ＝ ＝﹣1+（﹣1）+（﹣1）﹣（﹣1） ＝﹣2， ∴代数式有最小值n＝﹣4． 故答案为：2，﹣2． 6．若x为任意有理数，|x|表示在数轴上x表示的点到原点的距离，|x﹣a|表示在数轴上x表示的点到a表示的点的距离，则|x﹣3|+|x+1|的最小值为 　 　． 【分析】现依据题意可知|x﹣3|与|x+1|的实际意义，可知|x﹣3|+|x+1|的最小值的实际意义为一个点到3和﹣1的距离的和的最小值，分类讨论即可得出答案． 【解答】解：因为|x﹣a|表示在数轴上x表示的点到a表示的点的距离． 所以|x﹣3|与|x+1|分别表示为点x到3的距离和点x到﹣1的距离． 所以|x﹣3|+|x+1|的最小值的实际意义为点x到3和﹣1的距离的和的最小值． 数轴上的区域被3和﹣1划分为三部分：﹣1左面的部分，﹣1和3之间的部分（包含﹣1和3点），3右面的部分． ①当x在：﹣1左面的部分和3右面的部分时，x到3和﹣1的距离的和永远大于4． ②当x在：，﹣1和3之间的部分（包含﹣1和3点）时，x到3和﹣1的距离的和永远等于4． 所以|x﹣3|+|x+1|的最小值为 4． 7．化简并填空： （1）当﹣≤x≤1时，化简|3x+1|﹣2|x﹣1|； （2）当|x|+|x+4|最小时，|3x+1|﹣2|x﹣1|的最大值为　 　． 【分析】（1）根据求绝对值的法则，即可求解； （2）先求出x的范围，再分类讨论去绝对值，分别求出最大值，进而即可求解． 【解答】（1）解：∵﹣≤x≤1， ∴﹣1≤3x≤