2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）一试预测卷9

2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）预测卷9 第一试 一、填空题（每题8分，共64分） 1．设、为两个非零向量，且，，则的最大值为________. 2．从不超过2017的正整数确定的集合{1，2，3，…，2017}中先后取出两个正整数a、b（a、b可以相等）组成数对，则恰为方程的解的概率为________. 3．四棱锥F-ABCD的底面ABCD为菱形，对角线，，AE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，，，则四棱锥F-ABCD与四棱锥E-ABCD的公共部分体积为________. 4．已知椭圆的左右顶点分别为A、B，点P在直线上，直线PA、PB与椭圆分别交于另外的点M、N，若，则此椭圆的离心率为________. 5．在复平面上，复数在和的线段上移动，复数在圆上运动，则在复平面上移动的范围面积为________. 6．已知，则________. 7．已知，则的最小值为________. 8．盒中装有红色和蓝色纸牌各100张，每种颜色纸牌都含标数为的牌各一张，两色纸牌的标数总和记为S，对于给定的正整数n，若能从盒中取出若干张牌，使其标数和恰为n，便称为一种取牌n-方案，不同的n-方案总数记为，则________. 二、解答题（共56分） 9．（16分）记，对数列和U的子集T，若，定义；若，定义．若是首项为，公比为的等比数列．若，，，证明：． 10．（20分）如果对任意一个三角形，只要它的三边a、b、c都在函数的定义域内，就有也是某个三角形的三边长，则称为“保三角形数”．若函数是“保三角形数”，求A的最大值． 11．（20分）已知抛物线，过点作一条直线与抛物线交于A、B两点． （1）是否存在定点M，都有为定值？若存在，试求出定点M的坐标，若不存在，请说明理由； （2）过A、B作平行的两直线，分别与直线交于P、Q两点，设点R为线段PQ的中点，证明：AR∥MQ． 学科网（北京）股份有限公司 $