第一章 第4节 基本不等式及其应用-2023高考数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮课时作业word（新教材，北师大版）

第4节　基本不等式及其应用 知识点、方法 基础巩固练 综合运用练 应用创新练 利用基本不等式求最值 1,2,3,4,6 10,11 基本不等式的应用 5,7,8,9 12,13,14 15 1.(2021·河南天一高二期末联考)当x>1时,f(x)=的最大值为(　A　) A. B. C.1 D.2 解析:因为x>1,故f(x)==≤=,当且仅当x=,即x=2时取等号,故f(x)=的最大值为.故选A. 2.(2021·重庆高三调研)已知x>2,y>1,(x-2)·(y-1)=4,则x+y的最小值是(　C　) A.1 B.4 C.7 D.3+ 解析:因为x>2,y>1,(x-2)(y-1)=4, 所以x+y=(x-2)+(y-1)+3≥ 2+3=7,当且仅当时等号成立.故选C. 3.(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是(　C　) A.y=x2+2x+4 B.y=|sin x|+ C.y=2x+22-x D.y=ln x+ 解析:y=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3,所以函数的最小值为3,故选项A错误; 因为0<|sin x|≤1, 所以y=|sin x|+≥2=4, 当且仅当|sin x|=,即|sin x|=2时取等号,因为0<|sin x|≤1,所以等号取不到, 所以y=|sin x|+>4,故选项B错误; 因为2x>0,所以y=2x+22-x=2x+≥2=4,当且仅当2x=2,即x=1时取等号,所以函数的最小值为4,故选项C正确; 对于D,y=ln x+,函数的定义域为(0,1)∪(1,+∞),而ln x∈R且ln x≠0,如当ln x=-1时,y=-5,故选项D错误.故选C. 4.(2021·江苏无锡模拟)设实数x满足x>0,则函数y=2+3x+的最小值为(　A　) A.4-1 B.4+2 C.4+1 D.6 解析:因为x>0,所以x+1>1, 所以y=2+3x+=2+3(x+1)-3+=3(x+1)+-1≥2 -1=4-1,当且仅当3(x+1)=,即x=-1>0时,等号成立,所以函数y=2+3x+的最小值为4-1.故选A. 5.(2021·湖南高三模拟)由于近年来,冬季气候干燥,冷空气频繁袭来.为提高公民的取暖水平,某社区决定建立一个取暖供热站.已知供热站每月自然消费与供热站到社区的距离成反比,每月供热费与供热站到社区的距离成正比,如果在距离社区20千米处建立供热站,这两项费用分别为5千元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,供热站应建在离社区多远处(　A　) A.5千米 B.6千米 C.7千米 D.8千米 解析:设供热站应建在离社区x千米处,则自然消费y1=,供热费y2=k2x, 由题意得,当x=20时,y1=0.5,y2=8, 所以k1=xy1=10,k2==, 所以y1=,y2=x. 所以两项费用之和为 y1+y2=+≥2=4, 当且仅当=,即x=5时,等号成立,所以要使这两项费用之和最小,供热站应建在离社区5千米处.故选A. 6.已知a>0,b>0,且+=,则ab的最小值是　　　　.  解析:因为=+≥2, 所以ab≥2,当且仅当=时,取等号. 答案:2 7.若两个正实数x,y满足4x+y=xy且存在这样的x,y使不等式x+<m2+3m有解,则实数m的取值范围是　　　　　　　.  解析:由4x+y=xy⇒+=1知(x+)(+)=1+++1≥2+2=4, 当且仅当x=2,y=8时,等号成立,则使不等式x+<m2+3m有解,只需满足m2+3m>4即可,解得m∈(-∞,-4)∪(1,+∞). 答案:(-∞,-4)∪(1,+∞) 8.已知m>0,xy>0,当x+y=2时,不等式+≥4恒成立,则m的取值范围是　　　　.  解析:因为m>0,xy>0,x+y=2, 所以+=(x+y)(+)=(++m+2)≥(2+m+2), 因为不等式+≥4恒成立, 所以(2+m+2)≥4. 整理得(+3)(-)≥0,解得≥,即m≥2. 答案:[2,+∞) 9.证明下列各题:已知a,b,c为正数. (1)若abc=1,求证:a+b+c≤++; (2)若a+b+c=9,求证:++≥1. 证明:(1)由条件abc=1得+≥=2c, 当且仅当a=b时等号成立, +≥=2a,当且仅当b=c时等号成立, +≥=2b,当且仅当c=a时等号成立, 以上三个不等式相加可得2(++)≥2(a+b+c), 当且仅当a=b=c时等号成立, 因此a+b+c≤++. (2)(a+b+c)(++)=3+(+)+(+)+(+),因为a,b,c为正数, 所以(a+b+c)(++)≥3+2+2+2=3+2+2+2=9, 当且仅当a=b=c=3时取等号, 所以++≥1. 10.(2021·浙江嵊州高考模拟)已知x>0,y>0,且x