1.2空间向量基本定理-【高效课堂】2022-2023学年高二数学同步精讲课件（人教A版2019选择性必修第一册）

1.2 空间向量基本定理 复习引入 我们知道，平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示(平面向量基本定理).类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量来表示呢？ 我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论. 如图，设是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点.对于任意一个空间向量 设为在所确定的平面上的投影向量，则.又向量共线，因此存在唯一的实数，使得，从而. 新知探索 而在所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序数对，使得. 从而. 因此，如果是空间三个两两垂直的向量，那么对于任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得 我们称分别为向量在上的分向量. 新知探索 问题1：在空间中，如果用任意三个不共面的向量代替两两垂直的向量，你能得出类似的结论吗？ 定理 如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得. 类似平面向量基本定理，我们有空间向量基本定理. 新知探索 由此可知，如果三个向量不共面，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量生成的，我们把叫做空间向量的一个基底，都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 新知探索 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.由空间向量基本定理知，对空间中的任意向量均可以分解为三个向量，使.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 由空间向量基本定理可知，如果把三个不共面的向量作为空间的一个基底，那么所有空间向量都可以用三个基向量表示出来.进一步地，所有空间向量间的运算都可以转化为基向量的运算，这为解决问题带来了方便. 新知探索 辨析1.判断正误. (1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底.（ ） (2)若为空间一个基底，则也可以构成空间的一个基底.（ ） (3)若三个非零向量，，不能构成空间向量的一个基底，则共面.（ ） (4)对于三个不共面向量，，，不存在实数组使 .（ ） 答案：×，√，√，×. 例析 例1.如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且用向量，，表示. 解: