1.1.2空间向量的数量积运算-【高效课堂】2022-2023学年高二数学同步精讲课件（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1.2 空间向量的数量积运算 复习引入 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义. 如图，已知两个非零向量在空间任取一点，作则叫做向量的夹角，记作. 通常规定，.这样，两个向量的夹角是唯一确定的，且. 新知探索 如果，那么向量互相垂直，记作. 已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作. 即. 特别地，零向量与任意向量的数量积为0. 向量的数量积定义，可以得到： . 新知探索 思考1：在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影.类似地，在空间，向量向向量的投影有什么意义？向量向直线的投影呢？向量向平面β的投影呢？ 如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量.类似地，可以将向量向直线投影（图(2)). 新知探索 如图(3)，在空间，向量向平面β投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，得到向量，向量称为向量在平面上的投影向量.这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面β所成的角. 空间向量的数量积满足如下的运算律： (交换律)； (分配律). 新知探索 思考2： 1.对于三个均不为0的数，若，则.对于向量，由，你能得到吗？如果不能，请举出反例. 不能.例如，如下图，向量与向量，都垂直，因此，而显然，不相等. 新知探索 思考2： 2.对于三个均不为0的数，若，则(或).对于向量，由，能不能写成的形式？(不能，向量没有除法) 3.对于三个均不为0的数，有对于向量，成立吗？为什么？ 不成立.向量的数量积不满足结合律.例如，任意取三个不共面的向量，是一个数与向量作数乘，是一个数与向量作数乘，而不在同一个方向上，所以与不可能相等. 新知探索 辨析1.判断正误. (1)向量与的夹角等于与的夹角.（ ） (2)若，则或.（ ） (3)对于非零向量，，与相等.（ ） (4