1.4.2 距离问题-2022-2023学年高二数学【知识梳理+题型探究+跟踪训练+达标检测】同步讲义系列（人教A版2019选择性必修第一册）

1．4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　距离问题 知识点一　点P到直线 l 的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量=a，则向量在直线l上的投影向量为＝，则点P到直线l的距离为 (如图)． 知识点二　点P到平面α的距离 设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 【题型目录】 题型一、点到直线的距离 题型二、点/直线到平面的距离 题型三、平面到平面的距离 题型四、异面直线的距离 题型一、点到直线的距离 1．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点到直线的距离为（       ） A． B． C． D．6 2．如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（       ） A．1 B． C． D． 3．已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为_______. 4．如图，三棱柱中，所有棱长都为2，且，平面平面，点P，Q分别在上，且． (1)求证：平面； (2)当点P是边的中点时，求点到直线的距离． 题型二、点/直线到平面的距离 5．如图，是矩形，平面，，，、分别是、的中点，求点到平面的距离. 6．如图，在正方体中，棱长为2，为的中点. (1)求到平面的距离. (2)若面，求. 7．已知，分别是正方形边，的中点，交于，垂直于所在平面． (1)求证：平面． (2)若，，求点到平面的距离． 题型三、平面到平面的距离 8．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为_____.  9．底面为菱形的直棱柱中，分别为棱的中点. (1)在图中作一个平面，使得，且平面.（不必给出证明过程，只要求作出与直棱柱的截面）； (2)若，求平面与平面的距离. 题型四、异面直线的距离 10．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体中，直线与之间的距离是（       ） A． B． C． D． 11．如图，多面体是由长方体一分为二得到的，，，，点D是中点，则异面直线与的距离是______． 12．如图四棱锥，是平行四边形，，，为等边三角形，且平面平面，是边的中点，是侧棱上的一点. （1）是否存在这样的点，使得平面？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； （2）在（1）的条件下，求异面直线与的距离. 1．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为________． 2．已知，则点到直线的距离为_______. 3．在棱长为的正方体中，平面与平面间的距离是________. 4．在正方体中，，则异面直线AB和的距离为___________. 5．如图，在棱长为2的正方体中，已知点，分别为直线，上的动点， 给出下面四个结论： ①异面直线，所成的角为；                                 ②点到平面的距离为定值； ③若为中点，则点到距离为；                    ④的最小值为 则其中所有正确结论的序号是________． 6．如图，已知是底面边长为1的正四棱柱，为与的交点. (1)若点到平面的距离为，求正四棱柱的高； (2)在（1）的条件下，点是的中点，求点到直线的距离. 7．如图，在正四棱柱中，已知，，E，F分别为，上的点，且． (1)求证：平面ACF： (2)求点B到平面ACF的距离． 8．直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的距离． 9．如图，已知正方体的棱长为1，MN是异面直线AC与的公垂线段，试确定点M在AC上及点N在上的位置，并求异面直线AC与间的距离． 1．已知点A（l，0，0），B（0，l，0），C（0，0，2），，那么过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离是（       ） A． B． C． D． 2．正四棱锥的高，底边长，则异面直线和之间的距离（       ） A． B． C． D． 3．已知平面的一个法向量为，点在平面内，若点到平面的距离，则（       ） A． B． C．或 D．或 4．（多选）已知正方体的棱长为，点，分别是，的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（       ） A．与平面所成角的正弦值是 B．点到平面的距离是 C．平面与平面间的距离为 D．点到直线的距离为 5．（多选）已知正方体的棱长为1，点E、O分别是、的中点，P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（       ） A．点A到直线的距离是