1.3.2 空间向量运算的坐标表示-2022-2023学年高二数学【知识梳理+题型探究+跟踪训练+达标检测】同步讲义系列（人教A版2019选择性必修第一册）

1.3　空间向量及其运算的坐标表示 1．3.1　空间直角坐标系 知识点一　空间向量的坐标运算 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) 减法 a－b a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2) 数乘 λa λa＝(λx1，λy1，λz1)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2 知识点二　空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则有 ⑴ 当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)； ⑵ a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0； ⑶ |a|＝＝； ⑷ cos〈a，b〉＝＝. 知识点三　空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点， 则P1P2＝||＝. 【题型目录】 题型一、空间向量的坐标运算 题型二、向量的坐标表示的应用 命题点1 空间平行垂直问题 命题角度2　夹角、距离问题 题型一、空间向量的坐标运算 1．（多选）已知，，下列计算结果正确的是（       ） A． B． C． D． 2．已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为__________． 3．已知空间向量 ，, ． (1)若，求； (2)若 ，求 的值． 题型二、向量的坐标表示的应用 命题点1 空间平行垂直问题 4．如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D为AB的中点,AC=BC=BB1. 求证:(1)BC1⊥AB1. (2)BC1∥平面CA1D． 5．如图，，是圆柱底面的圆心，，，均为圆柱的母线，是底面直径，E为的中点．已知，． (1)证明：； (2)若，求该圆柱的体积． 6．如图，在棱长为的正方体中，以为坐标原点，分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，过点作于点，求点的坐标. 命题角度2　夹角、距离问题 7．已知直线l经过点，且平行于x轴，求直线l上满足的点P的坐标． 8．已知空间三点，，．设，． (1)求，； (2)求与的夹角； (3)若向量与互相垂直，求实数k的值． 9．如图，将正三棱柱放在空间直角坐标系中，使得棱AB的中点恰为空间直角坐标系的原点O，A，B两点在x轴上，点C在y轴上，若，，写出，的坐标，并求它们夹角的余弦值． 1．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（       ） A． B． C． D． 2．若向量与的夹角为120°，那么等于(       ) A．-1 B． C．-1或 D．不存在 3．已知向量，，则（       ） A． B． C．向量，的夹角的余弦值为 D．若向量（，为实数），则 4．与向量共线的单位向量是__________________________________． 5．如图，在棱长为的正方体中，是的中点，是的中点，是的中点. (1)试建立适当的坐标系，并确定、、三点的坐标； (2)求证：. 6．正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P、Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值． 7．已知空间三点，， (1)求向量与的夹角的余弦值， (2)若向量与向量垂直，求实数k的值． 8．已知空间中三点，，． (1)若，，三点共线，求的值； (2)若，的夹角是钝角，求的取值范围． 9．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧棱底面ABCD，E､F､G分别为AB､SC､SD的中点.若，. (1)求； (2)求； (3)判断四边形AEFG的形状. 1．已知M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，O为坐标原点，若＝，则点B的坐标应为(　　) A．(－1,3，－3) B．(9,1,1) C．(1，－3,3) D．(－9，－1，－1) 2．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝，且λ>0，则λ等于(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 3．已知，，则满足概率是（       ） A． B． C． D． 4．已知O为坐标原点，向量，点Q在直线上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（       ） A． B． C． D． 5．如图，在正方体中，点P满足，则直线与直线所成角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 6．如图，在四棱锥中，底面，，，点为的中点，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 7．（多选）已知向量，下列等式中正确的是（       ） A． B． C． D．