1.2.2 空间向量基本定理的初步应用-2022-2023学年高二数学【知识梳理+题型探究+跟踪训练+达标检测】同步讲义系列(人教A版2019选择性必修第一册）

第2课时　空间向量基本定理的初步应用 知识点一　证明平行、共线、共面问题 (1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)， 使p＝xa＋yb. 知识点二　求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 知识点三　求距离(长度)问题 ＝ ( ＝ )． 【题型目录】 题型一、证明平行、共面问题 题型二、证明垂直问题 题型三、求夹角问题 题型四、求距离（长度）问题 题型一、证明平行、共面问题 1．如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，E，F分别为AA′和CC′的中点． 求证：BF∥ED′. 2．在正四面体中，，，，分别是，，，的中点．设，，． (1)用，，表示，； (2)求证：，，，四点共面． 题型二、证明垂直问题 3．如图，在四面体中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若，求证：． 4．如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1， ∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°． 求证：直线A1C⊥平面BDD1B1. 题型三、求夹角问题 5．如图， 三棱柱 ，为 的中点， ， 设 (1)试用 表示向量 ； (2)若 ，异面直线 与 所成角的余弦值． 6．如图，空间四边形的各边及对角线长都为2，E是的中点，F在上，且 (1)用表示； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 题型四、求距离（长度）问题 7．如图所示，在四棱锥中，，且，底面为正方形. (1)设试用表示向量； (2)求的长. 8．在三棱锥中，是的中点，在上，且，，，， （1）试用，，表示向量； （2）若底面是等腰直角三角形，且，，求的长. 9．如图,甲站在水库底面上的点D处,乙站在水坝斜面上的点C处,已知库底与水坝所成的二面角为120°,测得从D，C到库底与水坝的交线的距离分别为,,又已知,则甲、乙两人相距(　　) A．50 m B． m C．60 m D．70 m 1．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（       ） A．1 B． C．2 D． 2．（多选）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.记，则下列说法正确的是（       ） A． B． C． D． 3．（多选）如图，在四面体P﹣ABC中，下列说法正确的是（          ） A．若，则 B．若四面体各棱长均为4，分别是的中点，则 C．若在平面上存在一点，使，则 D．若该四面体为正四面体，则二面角的大小为 4．已知四棱柱的底面是正方形，底面边长和侧棱长均为2，，则对角线的长为________． 5．正四面体ABCD的棱长为2，点E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则的值为___． 6．已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证: 这个四面体相对的棱两两垂直. 已知：如图，四面体，分别为棱的中点，且，求证 . 7．如图，平行六面体的底面是菱形，且，，求证：平面． 8．如图，三棱柱中，M为AB上靠近于A的三等分点，N为中点，记，，． (1)试用表示． (2)若三棱柱各棱长均为6，且，求直线MN与AB所成角的余弦值． 9．已知平行六面体中，各条棱长均为，底面是正方形，且，设，，． (1)用，，表示及求； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 1．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面，，E为PC的中点，则异面直线PD与BE所成角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 2．如图所示，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，那么（       ）． A． B． C． D．与不能比较大小 3．如图所示，在四面体ABCD中，为等边三角形，，，，，则（       ） A． B． C． D． 4．已知A，B，C，D，E是空间中的五个点，其中点A，B，C不共线，则“存在实数x，y，使得是“平面ABC”的（       ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（       ） A． B． C．向量与的夹角是 D．与所成角的余弦值为 6．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，则是（       ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定 7．已知三棱柱的