1.1.2 空间向量的数量积运算-2022-2023学年高二数学【知识梳理+题型探究+跟踪训练+达标检测】同步讲义系列(人教A版2019选择性必修第一册）

1．1.2　空间向量的数量积运算 知识点一　空间向量的夹角 1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 2．范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 知识点二　空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 知识点三　 向量a的投影 向量a在向量b上的投影向量：|a|cos〈a，b〉． 【题型目录】 题型一、数量积的计算 题型二、 投影向量 题型三、利用数量积证明垂直问题 题型四、利用数量积求模 题型五、利用数量积求夹角 题型一、数量积的计算 1．如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F，G分别是AB、AD、DC的中点.求下列向量的数量积： （1）； （2）； （3）； （4）. 2．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点，分别是，的中点，则的值为_________. 题型二、 投影向量 3．设平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（       ） A． B． C． D． 4．如图，在平面四边形中，，，则向量在向量上的投影向量为（       ） A． B． C． D． 5．已知，是两个互相垂直的单位向量，则向量在向量上的投影向量为（       ） A． B． C． D． 题型三、利用数量积证明垂直问题 6．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD. 7．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD. 求证：PA⊥BD. 8．已知平行六面体的各棱长均为1，且． 求证：． 9．如图，四棱锥的各棱长都为．用向量法证明． 题型四、利用数量积求模 10．如图，在空间四边形ABCD中，DA，DB，DC两两垂直，DA＝3，DB＝DC＝2，点E在边DA上，且DE＝2EA，F为BC的中点． (1)用向量，，表示向量； (2)求． 11．在正四棱台中，，，，设，，，则向量______（用，，表示），______． 题型五、利用数量积求夹角 12．如图，空间四边形的各边及对角线长为，是的中点，在上，且，设，，， (1)用，，表示； (2)求向量与向量所成角的余弦值. 1．棱长为1的正四面体ABCD中，点E，F，G分别为AB，AD，DC中点，求： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 2．如图，在三棱锥中，两两垂直，，，为的中点，则的值为______. 3．已知为正三角形的中心，则向量在向量上的投影向量为（       ） A． B． C． D． 4．已知，为单位向量，与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为______； 5．如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，且侧棱底面．试利用空间向量的方法解决下列问题： （1）设侧棱长为1，求证：； （2）设与的夹角为，求侧棱长． 6．如图，在平行六面体中，．求： (1)； (2)的长； (3)的长． 7．如图，在正方体中，设，M，N分别是，的中点． (1)求异面直线与MC所成角的余弦值； (2)设P为线段AD上任意一点，求证：． 8．已知正四面体的棱长为1，，，，分别是棱，，，的中点，设，，，用向量法解决下列问题． (1)求； (2)求直线与所成的角． 1．如图，三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的值为（       ） A． B．1 C． D． 2．如图，四棱锥中，底面为矩形且平面，连接与，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（       ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．已知，为单位向量，当向量与的夹角等于时，则向量在向量上的投影向量为（       ） A． B． C． D． 4．已知矩形ABCD，AB＝1，BC，沿对角线AC将△ABC折起，若平面ABC与平面ACD所成角的余弦值为，则B与D之间距离为（       ） A．1 B． C． D． 5．如图，空间四边形中，，，，点，分别在，上，且，，则（       ） A． B． C． D． 6．（多选）正方体的棱长为1，体对角线与，相交于点，则（       ） A． B． C． D． 7．（多选）如图，平面平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，若G是EF的中点，，，则（       ）