4.2 等差数列（教案）-2022-2023学年高二数学教材配套教案（人教A版2019选择性必修第二册）

4.2 等差数列 · 考纲要求 1．理解等差数列的概念和通项公式的意义； 2．掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系； 3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题； 4．体会等差数列与一元一次函数的关系． · 知识解读 知识点①等差数列的有关概念 1．等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示． 2．等差中项 如果三个数a，A，b组成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，由等差数列的定义知2A＝a＋b． 知识点②等差数列的通项公式与前n项和公式 1．若等差数列{an}的首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d． 2．设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝na1＋d． 知识点③等差数列的相关性质 1．若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. 2．若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． 3．若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． 4．若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的. 5．若{an}是等差数列，Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列． 6．关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质． (1)若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝. (2)若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan， S奇－S偶＝an，＝. 7．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝. 知识点④等差数列与函数的关系 1．等差数列与一次函数的关系 an＝a1＋(n－1)d可化为an＝dn＋a1－d的形式．当d≠0时，an是关于n的一次函数；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列． 2．等差数列前n项和公式可变形为Sn＝n2＋n.当d≠0时，它是关于n的二次函数，数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． 知识点⑤等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则满足的项数m使得Sn取得最大值Sm；若a1<0，d>0，则满足的项数m使得Sn取得最小值Sm． · 题型讲解 题型一、等差数列基本量的运算 例1．(2018·全国卷Ⅰ)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　) A．－12 B．－10 C．10 D．12 例2．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则(　　) A．an＝2n－5　　 B．an＝3n－10 C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n 例3．(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则＝________. 例4．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5. (1)若a3＝4，求{an}的通项公式； (2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围． 题型二、等差数列性质及应用 例1．数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，且a2＋a4＋a6＝12，则a3＋a4＋a5等于(　　) A．9　　　 B．10　　　 C．11　　　 D．12 例2．已知{an}为等差数列，若a1＋a5＋a9＝8π，则{an}前9项的和S9＝______，cos(a3＋a7)的值为________． 例3．已知{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，则a5＋b6＝________. 例4．在等差数列{an}中，a1＝－2 018，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 018的值等于(　　) A．－2 018 B．－2 016 C．－2 019 D．－2 017 例5．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大． 例6．已知等差数列的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝63，则a7＋a8＋a9等于(　　 ) A．63 B．71 C．99 D．117 例7．设数列{an}，{bn}都是正项等比数列，Sn，Tn分别为数列{lg an}与{lg bn}的前n项和，且＝，则loga3b3