空间向量专题：空间向量在动点探究中的应用-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学上学期同步讲与练(人教A版2019选择性必修第一册)

空间向量专题：空间向量在动点探究中的应用 一、与空间向量有关的探索性问题 一类是探索线面位置关系的存在性问题，即线面的平行与垂直， 另一类是探索线面的数量关系的存在性问题，即线面角或为面交满足特定要求是的存在性问题， 二、利用空间向量解决立体几何的探索性问题思路： （1）根据题设条件的垂直关系，建立适当的空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示。 （2）假设所成的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的位置关系、数量关系，构建方程（组）求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在。 三、动点的设法（减少变量数量） 在解决探索性问题中点的存在性四，经常需要设出点的坐标，而可表示空间中的任一点，使用三个变量设点需要列三个方程，导致运算量增大。为了减少变量数量，用以下设法。 1、直线（一维）上的点：用一个变量可以表示出所求点的坐标； 依据：根据平面向量共线定理—若，使得 【示例】已知，，那么直线上的某点坐标可用一个变量表示， 方法如下：， 因为在上，所以 ∴， 所以可设点. 2、平面（二维）上的点：用两个变量可以表示出所求点的坐标。 依据：平面向量基本定理—若，不共线，则平面上任意一个向量，均存在，，使得 【示例】已知，，，则平面上某点坐标可用两个变量表示， 方法如下：，， 故，即 所以可设点. 题型一 平行中的动点问题 【例1】如图，在底面是正方形的四棱锥中，平面，，是的中点. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，. 【解析】（1）证明：因为四棱锥底面是正方形，且平面， 以点为坐标原点， 所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系. 则， 因为是的中点， 所以， 所以， 所以，且. 所以，，且. 所以⊥平面. （2）假设在线段上存在点，使得//平面. 设， 则. 因为//平面，⊥平面， 所以.所以. 所以，在线段上存在点，使得//平面.其中. 【变式1-1】如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，，，平面，，，. （1）求证：. （2）设点E在棱PC上，若平面，求的值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）在底面内过作直线，交于F， 在直角中，，,可知， ，， 面，面，， 又，面， 又面，. （2）以D为坐标原点，分别为轴，建立如图空间坐标系， 则，，， 设，则， 则，，， 因为，所以， 则 设平面PAB的一个法向量为， 则，即，令，则， 因为平面，所以， 所以， 因为，所以，故的值为. 【变式1-2】如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？ 【答案】当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. 【解析】如图所示，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q.设正方体的棱长为1， 则O，P，A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，则Q(0，1，m). (方法1)因为=(-1，-1，1)， 所以，于是OP∥BD1. =(-1，0，m)， 当m=时，，即AP∥BQ，有平面PAO∥平面D1BQ， 故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. (方法2). 设平面PAO的法向量为=(x，y，z)，则有⊥，⊥， 因此取x=1，则=(1，1，2). 又因为=(-1，-1，1)，=(0，-1，1-m). 设平面D1BQ的法向量为=(x，y，z)，则有⊥，⊥， 因此，取z=1，则=(m，1-m，1). 要使平面D1BQ∥平面PAO，需满足∥， 因此，解得m=，这时Q. 故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. 【变式1-3】如图，正△ABC的边长为4，CD为AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B. (1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由； (2)在线段BC上是否存在一点P，使？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）平面，理由见解析；（2）. 【解析】（1）AB∥平面DEF，理由如下： 在△ABC中，由E，F分别是AC，BC的中点，得EF∥AB. 又因为AB⊄平面DEF，EF平面DEF， 所以AB∥平面DEF. （2）以点D为坐标原点，直线DB，DC，DA分别为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系(如图所示)， 则A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(0，，0)，E(0，，1)， 故＝(0，，1)． 假设存在点P(x，y，0)满足条件， 则＝(x，y，－2)，·＝，所以. 又＝(，y