专题2.4 圆的方程（7类必考点）-2022-2023学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题2.4 圆的方程 【考点1：圆的一般方程】 1 【考点2：圆的标准方程】 5 【考点3：二元二次方程表示圆的条件】 7 【考点4：点与圆的位置关系】 9 【考点5：关于点、直线对称的圆的方程】 11 【考点6：与圆有关的轨迹问题】 13 【考点7：与圆有关的最值问题】 14 【考点1：圆的一般方程】 【知识点：圆的一般方程】 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心： 半径：r＝ 1．（2022•广州三模）设甲：实数a＜3；乙：方程x2+y2﹣x+3y+a＝0是圆，则甲是乙的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据圆的一般方程求出命题乙的充要条件，根据集合的包含关系以及充分必要条件的定义判断即可． 【解答】解：方程x2+y2﹣x+3y+a＝0是圆， （﹣1）2+32﹣4a＞0，解得：a， 故命题甲是命题乙成立的必要不充分条件， 故选：B． 2．（2021秋•阿拉善左旗校级期末）圆2x2+2y2+6x﹣4y﹣3＝0的圆心坐标和半径分别为（　　） A．（，1）和 B．（3，2）和 C．（，1）和 D．（，﹣1）和 【分析】化简圆的方程为标准方程，即可求出圆的圆心与半径． 【解答】解：圆2x2+2y2+6x﹣4y﹣3＝0，可得x2+y2+3x﹣2y0， 即（x）2+（y﹣1）2，可得圆心坐标（，1）和半径为． 故选：C． 3．（2022•沙坪坝区校级模拟）已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是（5，6），（3，﹣4），则这个圆的方程为（　　） A．x2+y2+4x﹣2y+7＝0 B．x2+y2﹣8x﹣2y﹣9＝0 C．x2+y2+8x+2y﹣6＝0 D．x2+y2﹣4x+2y﹣5＝0 【分析】根据题意，分析圆的圆心和半径，即可得圆的标准方程，变形为一般方程即可得答案． 【解答】解：根据题意，圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是（5，6），（3，﹣4）， 则圆的圆心为（4，1），半径r， 则圆的方程为（x﹣4）2+（y﹣1）2＝26，即x2+y2﹣8x﹣2y﹣9＝0， 故选：B． 4．（2021秋•湖北期末）已知二次函数y＝x2﹣4x+3交x轴于A，B两点，交y轴于C点．若圆M过A，B，C三点，则圆M的方程是（　　） A．x2+y2﹣2x﹣2y﹣3＝0 B．x2+y2+2x﹣2y﹣3＝0 C．x2+y2﹣4x﹣4y+3＝0 D．x2+y2﹣4x﹣12y+3＝0 【分析】先求出点A，B，C，利用AB的垂直平分线必过圆心，设圆心的坐标，由MC＝MA，求出圆心和半径，即可得到答案． 【解答】解：令y＝x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或x＝3， 所以A（1，0），B（3，0）， 又令x＝0，解得y＝3， 所以C（0，3）， 因为圆M过A，B，C三点， 所以AB的垂直平分线必过圆心， 设圆M的圆心为M（2，m）， 则MC＝MA， 所以，解得m＝2， 则圆心M（2，2），半径r， 所以圆M的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5，即x2+y2﹣4x﹣4y+3＝0． 故选：C． 5．（2021秋•亳州期末）圆心在x轴上且过点的圆与y轴相切，则该圆的方程是（　　） A．x2+y2﹣4x＝0 B．x2+y2+4x＝0 C．x2+y2﹣4y＝0 D．x2+y2+4y＝0 【分析】设圆心坐标为（a，0），则r＝|a|，再由两点间的距离公式列式求解a值，则答案可求． 【解答】解：设圆心坐标为（a，0），则r＝|a|， 由题意可得：，解得a＝2． ∴该圆的方程是（x﹣2）2+y2＝4，即x2+y2﹣4x＝0． 故选：A． （多选）6．（2022春•新邵县校级月考）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y+m＝0的直径为4，则（　　） A．m＝1 B．m＝2 C．圆心为（1，﹣2） D．圆心为（﹣1，﹣2） 【分析】根据题意，将圆的方程变形为标准方程，求出m的值，分析选项可得答案． 【解答】解：根据题意，圆C：x2+y2﹣2x+4y+m＝0，即（x﹣1）2+（y+2）2＝5﹣m， 其圆心为（1，﹣2），其半径为， 若其直径为4，则2，解可得m＝1， 故选：AC． （多选）7．（2021秋•潮阳区期末）已知方程x2+y2﹣4x+8y+2a＝0，则下列说法正确的是（　　） A．当a＝10时，表示圆心为（2，﹣4）的圆 B．当a＜10时，表示圆心为（2，﹣4）的圆 C．当a＝0时，表示的圆的半径为 D．当a＝8时，表示的圆与y轴相切 【分析】根据题意，将方程变形为（x﹣2）2+（y+4）2＝20﹣2a，由此依次分析选项，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，方程x2+