第二章 第六节 对数与对数函数（word教师用书）-2023高考数学（文科）一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（北师大 全国版）

　 1 理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 2 了解对数函数的概念及其单调性与特殊点． 3 知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数（a>0，且a≠1）. 知识梳理 1．对数的概念 如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①loga1＝0；②logaa＝1； ③alogaN＝N； ④logaan＝n(a>0，且a≠1). (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R). (3)对数的换底公式 logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0). 3．对数函数的定义、图像与性质 (1)定义：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图像与性质 y＝ logax a＞1 0＜a＜1 图像 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上 是增函数 在(0，＋∞)上 是减函数 4．反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称． 学霸笔记 1．换底公式的变形 (1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1). (2)logambn＝logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R)． (3)logNM＝＝(a，b，N均大于0且不等于1，M >0). 2．换底公式的推广：logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0). 3．对数恒等式：alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0). 4．对数函数的图像与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b. 由此我们可得到规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 进阶诊断 1．判断正误 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN.(　×　) (2)logax·logay＝loga(x＋y).(　×　) (3)函数y＝log2x及y＝log3x都是对数函数.(　×　) (4)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　×　) (5)函数y＝ln 与y＝ln (1＋x)－ln (1－x)的定义域相同．(　√　) 2．使式子log(2x－1)(2－x)有意义的x的取值范围是(　D　) A．x>2 B．x<2 C．<x<2 D．<x<2，且x≠1 3．(2020·全国卷Ⅰ)设alog34＝2，则4－a＝(　B　) A． B． C． D． 解析：法一：因为alog34＝2，所以log34a＝2，则4a＝32＝9，所以4－a＝＝.故选B. 法二：因为alog34＝2，所以a＝＝2log43＝log432＝log49，所以4－a＝4－log49＝4log49－1＝9－1＝.故选B. 4．已知a＝2，b＝log2，c＝log，则(　D　) A．a>b>c B．a>c>b C．c>b>a D．c>a>b 解析：∵0<a<1，b＝log2＝－log23<0，c＝log＝log23>1.∴c>a>b. 5．若f(x)＝3x，则f(log32)的值为____2____． 6．若loga<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是(0，)∪(1，＋∞)． 　对数运算　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　自主练通 1．(log29)(log32)＋loga＋loga(a)(a>0，且a≠1)的值为(　B　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：原式＝(2log23)(log32)＋loga(×a)＝2×1＋logaa＝3. 2．(2021·甘肃兰州期中)设2a＝5b＝m，且＋＝1，则m＝(　B　) A． B．10 C．20 D．100 解析：因为2a＝5b＝m，所以a＝log2m，b＝log5m， 所以＋＝logm2＋logm5＝logm10＝1， 又∵m＞0，∴m＝10. 3．(2021·烟台一模)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单