专题1.5 空间向量基本定理-重难点题型精讲-2022-2023学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.5 空间向量基本定理-重难点题型精讲 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 3．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 4．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 5．求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 【题型1 空间向量基底的判断】 【方法点拨】 (1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个 基底． (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条 棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断． 【例1】（2021秋•揭西县期末）若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【解题思路】根据已知条件，结合向量共面的定理，即可求解． 【解答过程】解：对于A，若向量，，共面， 则，即，解得λ＝﹣1，μ＝2， 故向量，，共面，故A错误， 对于B，若向量，，共面， 则，λ，μ无解， 故向量，，不共面，故B正确， 对于C，若向量，，共面， 则，即，解得λ＝2，μ＝﹣1， 故向量，，共面，故C错误， 对于D，若向量，，共面， 则，解得λ＝μ＝1， 故向量，，共面，故D错误． 故选：B． 【变式1-1】（2021秋•贵池区校级期中）已知{，，}是空间的一个基底，若2，2，，，则下列可以为空间一个基底的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【解题思路】利用共面向量定理以及空间向量的线性运算，判断三个向量是否是共面向量，即可判断得到答案． 【解答过程】解：对于A，由题意可得， 所以， 故共面， 故选项A错误； 对于B，由题意可得，， 所以， 故共面， 故选项B错误； 对于C，由题意可得，， 故共面， 故选项C错误； 对于D，假设共面，则存在实数λ，μ，使得， 即， 所以， 故共面，这与{，，}是空间的一个基底矛盾， 所以假设不成立， 则不共面， 故选项D正确． 故选：D． 【变式1-2】（2021秋•河北月考）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，则下列向量能组成一组基底的为（　　） A． B． C． D． 【解题思路】不共面的向量才能组成一组基底，由此能求出结果． 【解答过程】解：对于A，∵不共面，∴能组成一组基底，故A正确； 对于B，∵共面于平面ABC1，∴不能组成一组基底，故B错误； 对于C，∵共面于平面ACC1A1，∴不能组成一组基底，故C错误； 对于D，∵共面于平面AB1C，∴不能组成一组基底，故D错误． 故选：A． 【变式1-3】（2021秋•朝阳区校级月考）已知是空间的一个基底，若，则（　　） A．是空间的一组基底 B．是空间的一组基底 C．是空间的一组基底 D．与中的任何一个都不能构成空间的一组基底 【解题思路】根据空间向量的共线定理、共面定理，对选项中的命题真假性判断即可． 【解答过程】解：对于A，因为，所以2，所以向量、、共面，不是空间的一组基底； 对于B，因为，所以2，所以向量、、共面，不是空间的一组基底； 对于C，假设与、不是空间的一组基底，则xyx（）+y（）＝（x+y）（x﹣y）， 因为、、是空间的一组基底，所以x、y的值不存在，即可向量、、不共面，是空间的一组基底； 对于D，由选项C知，向量、、是空间的一组基底，所以选项D错误． 故选：C． 【题型2 空间向量基本定理的应用（表示向量）】 【方法点拨】 用基底表示向量的步骤: (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等 向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{，，