专题12.3 角的平分线的性质-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学上册同步精品讲义（人教版）

专题12.3 角的平分线的性质 ( 目标导航 ) 1. 会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性. 2. 探索并证明角的平分线的性质. 3. 掌握角的平分线的性质和判定，能灵活运用角的平分线的性质和判定解决简单的问题. ( 知识精讲 ) 知识点01 角的平分线及其性质 知识点 1．尺规作角平分线 尺规作角平分线方法（重要）：已知:∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.（2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求. 2. 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 【微点拨】 应用角平分线的性质定理所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离. 角平分线的性质定理的作用是证明线段相等. 【知识拓展1】角平分线的作法及应用 例1．（2022·陕西西安·八年级期中）如图，在中，．请用尺规在边上作一点，使点到点的距离与点到边的距离．（保留作图痕迹，不写作法）. 【答案】画图见解析 【分析】作∠BAC的平分线交BC于点P即可求解． 【详解】解：如图，点即为所求． 【点睛】本题考查的是作图-基本作图，以及角平分线的性质，熟知角平分线的作法是解答此题的关键． 【即学即练】 1．（2021·江苏南通市·八年级期末）如图①，已知，用尺规作它的角平分线（如图②）． 尺规作图具体步骤如下， 第1步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线于点； 第2步：分别以为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点； 第3步：画射线．射线即为所求．下列说法正确的是（ ） A．有最小限制，无限制 B．的长 C．的长 D．连接，则垂直平分 【答案】B 【分析】直接根据尺规作图作角平分线的方法即可得出结论的长． 【详解】解：以B为圆心画弧时，半径必须大于0，分别以D，E为圆心，以为半径画弧时，必须大于DE的长，否则两弧没有交点．故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的作图方法，熟练掌握作角平分线的步骤及方法是解题的关键． 2.（2022·河南洛阳·八年级期末）学习角的平分线之后，老师留了一道思考题：还有没有其他作角平分线的方法（不限于圆规和直尺）．下面是两位同学给出的两种方法： (1)同学1：我是用三角板按下面方法画角平分线：如图1，在已知的上，分别取．再分别过点，作，的垂线，交点为，画射线，则平分．请你帮这位同学证明：平分． (2)同学2：我是用圆规和直尺按下面方法画角平分线：如图2，以为圆心，以任意长为半径画弧与，交于点，，再以任意长为半径画弧与，交于点，，连接，交于点，连接，则平分．你认为同学2这种作角平分线的方法正确吗？若正确，请你给出证明过程；若错误，说出你的理由． 【答案】(1)见解析 (2)同学2这种作角平分线的方法正确．证明过程见解析 【分析】（1）由作法得，则可判断，从而得到平分； （2）由作法得，则可判断，可得到，因此可证明，再根据，可得，从而得到平分． （1）证明：由作法得，在和中，，∴，∴，∴平分； （2）解：同学2这种作角平分线的方法正确.理由如下：由作法得，，可知.在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，在与中，，∴，∴.即平分． 【点睛】本题考查了作图——基本作图，全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握5种基本作图（作已知角的角平分线）是解题的关键． 【知识拓展2】角平分线的性质的运用 例2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·八年级期末）如图，的外角的平分线CE与内角的平分线BE交于点E，若，则的度数为（       ） A．65° B．60° C．55° D．50° 【答案】D 【分析】过点E作EF ⊥BA交BA延长线于点F，EM⊥AC于点M，EN⊥BC交BC延长线于点N，设∠ECD=x°，根据角平分线的性质定理，可得EF = EM，再由三角形外角的性质，可得∠BAC = 80°，从而得到∠CAF = 100°，再由Rt△EFA≌Rt△EMA，即可求解． 【详解】如图，过点E作EF ⊥BA交BA延长线于点F，EM⊥AC于点M，EN⊥BC交BC延长线于点N， 设∠ECD=x°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE = ∠ECD = x°，EM = EN， ∵BE平分ABC，∴ ∠ABE =∠EBC，EF = EN，∴EF = EM， ∵∠BEC= 40°，∴ ∠ABE =∠EBC =∠ECD–∠BEC=(x-40)°， ∴ ∠BAC =∠ACD–∠ABC = 2x°- (x° - 40°) - (x° - 40°) = 80°，∴∠CAF = 100°， 在Rt△EFA和Rt△EMA中，∵EA=EA，EM = EF， ∴ Rt△EFA≌Rt△EMA