专题12.2.5 三角形全等的判定5（HL）-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学上册同步精品讲义（人教版）

专题12.2.5 三角形全等的判定5（HL） ( 目标导航 ) 1. 经历探索三角形全等条件的过程，掌握和会用“HL”条件判定两个三角形全等； 2. 使学生经历探索三角形全等的过程，体验操作、归纳得出数学结论的方法. 3. 通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生观察分析图形的能力及运算能力，培养学 生乐于探索的良好品质以及发现问题的能力. ( 知识精讲 ) 知识点01三角形全等的判定5（HL） 知识点 直角三角形全等的判定：HL 文字：在两个直角三角形中，如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：HL） 图形： 符号：在Rt与Rt中， 【微点拨】 证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 在直角三角形中，只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等） 【知识拓展1】HL判定三角形全等的条件 例1．（2022·湖南怀化·八年级期中）如图，在△ABC和△ABD中，∠C＝∠D＝90°，若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件 _____. 【答案】BD＝BC（或AD＝AC） 【分析】要利用HL判定△ABC≌△ABD，已知∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，具备了一组斜边、一组角相等，故添加BD＝BC或AD＝AC后可判定三角形全等． 【详解】解：∵∠C＝∠D，AB＝AB， ∴添加BD＝BC或AD＝AC后可利用HL判定△ABC≌△ABD 故答案为：BD＝BC（或AD＝AC）． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【即学即练】 1．（2022·河南周口·八年级期中）如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件_____． 【答案】AB＝AC 【分析】根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等即可解答． 【详解】解：还需添加条件AB＝AC， ∵AD⊥BC于D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△ABD和Rt△ACD中， ，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）．故答案为：AB＝AC． 【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定，掌握斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等是解答本题的关键． 【知识拓展2】利用HL证明三角形全等（求线段的长度） 例2．（2022·山东青岛·一模）如图，在中，，，为边上一点，于点．若，，则的长为（　　） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】作DF⊥AB于点F，由题意得到△ADB是等腰三角形，则∠ABD＝∠A＝40°，AB＝2AF＝2BF，再证明Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），BF＝BE＝2，得到AB的长． 【详解】解：如图，作DF⊥AB于点F， ∵ AD＝BD∴△ADB是等腰三角形，∠ABD＝∠A＝40°∴AB＝2AF＝2BF ∵，，∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝80°， ∴ ∠DBE＝∠ABC－∠ABD＝40°∴∠DBE＝∠ABD ∵∴ ∠DE＝DF ∵BD＝BD∴Rt△BDF≌Rt△BDE（HL） ∴BF＝BE＝2∴AB＝2BF＝4故选：D 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质、直角三角形全等的判定方法等知识，难度不大，属于常考题型，关键是证明两直角三角形全等． 【即学即练】 2．（2022•西城区八年级期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F．若CD＝3，则求CE的长． 【分析】证明△BDC≌△AEC得出：CD＝CE． 【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCD＝90°． 在Rt△BDC与Rt△AEC中，，∴Rt△BDC≌Rt△AEC（HL）．∴CD＝CE＝3； 【点评】本题考查了直角三角形全等的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 3.（2022•承德八年级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB上一点，且BE＝BC，过E作DE⊥AB交AC于D，如果AC＝5cm，则AD+DE等于（　　） A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm 【分析】根据HL证Rt△BED≌Rt△BCD，推出DE＝DC，得出AD+DE＝AD+DC＝AC，代入求出即可． 【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°＝∠C， 在Rt△BED和Rt△BCD中，∴Rt△BED≌Rt△BCD（HL）， ∴DE＝D