3.3 抛物线（教案）-2022-2023学年高二数学教材配套教案（人教A版2019选择性必修第一册）

3.3 抛物线 · 考纲要求 1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质(范围、对称性、顶点、准线)．(重点) 2．能根据几何性质求最值，能利用抛物线的定义进行灵活转化，并能理解数形结合思想，掌握抛物线的简单应用．(难点) · 知识解读 知识点①抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. 知识点②抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋ 知识点③必记结论 1．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径． 2．y2＝ax(a≠0)的焦点坐标为，准线方程为x＝－. 3．设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2. (2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)． (3)以弦AB为直径的圆与准线相切． (4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦． · 题型讲解 题型一、抛物线的定义及其应用 例1．已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点．若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(　　) A．双曲线　　 B．椭圆 C．圆　　 D．抛物线 例2．若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为(　　) A．　　　　　 B．1 C．　　 D．2 例3．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________． 题型二、抛物线的标准方程 例1．[易错题]抛物线y＝－x2的焦点坐标为(　　 ) A． B． C． D． 例2．已知点在抛物线C：y2＝2px上，则C的焦点到其准线的距离为(　　) A． B． C．1 D．2 例3．若抛物线C顶点在原点，焦点在y轴上，且过点(2，1)，则C的标准方程是___________． 例4．如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的标准方程为________． 例5．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，AD⊥l，交l于D.若|AF|＝4，∠DAF＝60°，则抛物线C的方程为(　　) A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x 题型三、抛物线的简单几何性质 例1．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　　) A．9　　 B．8 C．7　　 D．6 例2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线的焦点坐标为(　　) A．(－1，0) B．(1，0) C．(0，－1) D．(0，1) 例3．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为(　　) A．18 B．24 C．36 D．48 例4．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4，则抛物线的方程为(　　) A．y2＝6x　　 B．y2＝8x C．y2＝16x　　 D．y2＝ 例5．若抛物线y2＝2px(p>0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为(　　) A．y2＝4x B．y2＝36x C．y2＝4x或y2＝36x D．y2＝8x或y2＝32x 例6．(2022·山东淄博一模)若抛物线y2＝2px上的点A到其焦点的距离是点A到y轴距离的3倍，则p等于___________． 题型四、直线与抛物线的位置关系 例1．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,