1.1.2空间向量的数量积运算 同步课-课件-2022-2023学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册

* 1.1.2空间向量的数量积运算 (同步课) * * 内容要求 学科素养 1．掌握空间向量的夹角的概念及表示方法． 2．掌握空间向量数量积的概念及运算律（重点）． 3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义． 1．通过空间向量的数量积运算，强化数学运算的核心素养． 2．通过几何体中的数量积运算，有利于培养直观想象等数学核心素养. 一、提出问题 我们在物理中学过功的概念，据此我们定义了平面向量的夹角及数量积运算。那么在空间向量中是否也如此呢？ 【思考】由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义. * 二、探究问题 【探究1】空间向量的夹角怎么定义 * 如图，已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则______叫做向量，的夹角，记作_______. 【探究2】空间向量数量积怎么定义？ * 已知空间中两个非零向量，，则_______________叫做，的数量积.记作_________.即 ⇔=0 2= 特别的，零向量与任意向量的数量积为0. 由向量的数量积定义，可以得到： * 【探究3】在空间，向量向向量的投影有什么意义？向量向直线l的投影呢？向量向平面的投影呢？ 如图①，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量.类似地，可以将向量向直线投影，如图②. * 如图③，向量向平面投影，就是分别由向量的起点A和重点B作平面的垂线，垂足分别为和，得到向量,向量称为向量在平面上的投影向量.这时，向量，的夹角就是向量所在的直线与平面所成的角. 【探究4】空间向量数量积的运算律 * 空间向量的数量积满足如下的运算律： ①，； ②(交换律)； ③(分配律). * 【探究5】 1. 对于三个均不为0的数a，b，c，若ab=ac，则b=c.对于向量，由，你能得到吗？ 【提示】不能，若，可以为任意向量，但等式成立. * 【探究5】 2. 对于三个均不为0的数a，b，c，若ab=c，则.对于向量，由，能写成(或)的形式吗？ 【提示】不能，向量运算没有除法 * 【探究5】 3. 对于三个均不为0的数a，b，c，有.对于向量，一定成立吗？ 【提示】不一定，表示一个与共线的向量