专题21.3 二次根式的加减【八大题型】-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（华东师大版）

专题21.3 二次根式的加减【八大题型】 【华东师大版】 【题型1 同类二次根式的判断】 1 【题型2 求同类二次根式中的参数】 3 【题型3 二次根式的加减运算】 4 【题型4 二次根式的混合运算】 6 【题型5 已知字母的值化简求值】 7 【题型6 已知条件式化简求值】 9 【题型7 二次根式的新定义运算】 11 【题型8 二次根式的应用】 12 【知识点1 同类二次根式】 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． ①同类二次根式类似于整式中的同类项； ②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同； ③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 【题型1 同类二次根式的判断】 【例1】（2022春•西华县期末）下列各组二次根式中，化简后可以合并的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【分析】化简二次根式，判断被开方数是否相同即可得出答案． 【解答】解：A选项，与4不是同类二次根式，故该选项不符合题意； B选项，与2不是同类二次根式，故该选项不符合题意； C选项，与5不是同类二次根式，故该选项不符合题意； D选项，2与3是同类二次根式，可以合并，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式1-1】（2022春•郯城县期中）下列根式中，与不是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据同类二次根式的概念进行分析排除，即几个最简二次根式的被开方数相同，则它们是同类二次根式． 【解答】解：A、，与是同类二次根式； B、，与是同类二次根式； C、，与是同类二次根式； D、与不是同类二次根式， 故选：D． 【变式1-2】（2022春•肥城市期中）若两个二次根式化为最简二次根式后被开方数相同，则称这样的二次根式为同类二次根式，那么下列各组二次根式，不是同类二次根式的一组是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【分析】几个二次根式化简成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．根据定义逐个判断可知答案为D 【解答】解：∵2，4， ∵5≠6， ∴与 不是同类二次根式， 故选：D． 【变式1-3】（2022春•河西区校级月考）下列各式中与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据同类二次根式的定义逐个判断即可． 【解答】解：A、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； B、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； C、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； D、与是同类二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 【题型2 求同类二次根式中的参数】 【例2】（2022春•怀远县期中）已知二次根式． （1）求使得该二次根式有意义的x的取值范围； （2）已知为最简二次根式，且与为同类二次根式，求x的值，并求出这两个二次根式的积． 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件得出x﹣2≥0，求出不等式的解集即可； （2）先求出，得出x﹣2＝10，求出x即可． 【解答】解：（1）要使有意义，必须x﹣2≥0， 即x≥2， 所以使得该二次根式有意义的x的取值范围是x≥2； （2）， 所以x﹣2＝10， 解得：x＝12， 这两个二次根式的积为5． 【变式2-1】（2022秋•仓山区校级期末）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么3的值为　3　． 【分析】根据最简二次根式及同类二次根式概念作答． 【解答】解：由题意得3a+8＝12﹣a， 解得a＝1， 当a＝1时33． 故答案为：3． 【变式2-2】先阅读下面的解题过程，再回答后面的问题： 如果和在二次根式的加减运算中可以合并成一项，求m、n的值． 解：因为与可以合并 所以即 解得 问： （1）以上解是否正确？答　不正确　． （2）若以上解法不正确，请给出正确解法． 【分析】（1）要知道，同类二次根式是化简后被开方数相同，故要分两种情况讨论． （2）分两种情况讨论：被开方数相同和化简后被开方数相同． 【解答】解：（1）不正确； （2）∵与可以合并， ∴或或 解得或或． 故答案为：不正确． 【变式2-3】（2022春•孟村县期中）若最简二次根式和是同类二次根式． （1）求x，y的值； （2）求的值． 【分析】（1）根据同类二次根式的定义：①被开方数相同；②均为二次根式；列方程解组求解； （2）根据x，y的值和算术平方根的定义即可求解． 【解答】解：（1）根据题意知， 解得：； （2）当x＝4、y＝3时， 5． 【知识点2 二次根式的加减法则】 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方 法为系数相加减，根式不变． 【题型3 二次根式的加减运算】 【例3】