3.2.3 互斥事件-2021-2022学年高中数学必修3【名师导航】同步Word教参(北师大版)

2.3　互斥事件 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解互斥事件的概念及概率加法公式． 2．理解互斥事件和对立事件的区别和联系． 3．掌握对立事件的概率及概率的计算公式．(难点) 4．能利用互斥事件、对立事件的概率计算公式解决复杂的古典概率的计算问题．(难点) 1.通过学习互斥事件的概念及互斥事件和对立事件的区别与联系，培养数学抽象素养． 2．通过运用互斥事件，对立事件的概率计算公式解决复杂的古典概率的计算问题，提升数学运算素养. 一、互斥事件 1．互斥事件的定义 在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件． 2．事件A与B至少有一个发生 给定事件A，B，我们规定A＋B为一个事件，事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生． 根据上述定义推广可得：事件A1＋A2＋…＋An表示在一次随机试验中，事件A1，事件A2，…，事件An中至少有一个发生． 3．互斥事件的概率加法公式 一般地，如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生(即A，B中至少有一个发生)的概率等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．这个公式称为互斥事件的概率加法公式． 如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件A1＋A2＋…＋An发生(即A1，A2，…，A n中至少有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1＋A2＋…＋A_n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 二、对立事件及其概率的求法公式 1．定义 在每一次试验中，如果两个事件A与B不能同时发生，并且一定有一个发生，那么事件A与B称作是对立事件，事件A的对立事件记为. 2．性质 P(A)＋P()＝1，即P(A)＝1－P()． 思考：(1)在掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数为1}，事件B＝{出现的点数为奇数}，事件A与事件B应有怎样的关系？ (2)判断两个事件是对立事件的条件是什么？ [提示]　(1)因为1为奇数，所以A⊆B. (2)①看两个事件是不是互斥事件；②看两个事件是否必有一个发生．若满足这两个条件，则是对立事件；否则不是． 1．对同一事件来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是(　　) A．互斥不对立　　　　 B．对立不互斥 C．互斥且对立 D．不互斥、不对立 C　[必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故事件A与事件B的关系是互斥且对立．] 2．从一批产品中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论哪个是正确的(　　) A．A与C互斥　　　　　 B．B与C互斥 C．任何两个都互斥 D．任何两个都不互斥 C　[由题意可知，事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥．] 3．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是(　　) A．① B．②④ C．③ D．①③ C　[从1～9中任取两个数，有以下三种情况． (1)两个均为奇数，(2)两个均为偶数，(3)一个奇数和一个偶数，故③为对立事件．] 4．从几个数中任取实数x，若x∈(－∞，－1]的概率是0.3，x是负数的概率是0.5，则x∈(－1,0)的概率是________． 0．2　[设“x∈(－∞，－1]”为事件A，“x是负数”为事件B，“x∈(－1,0)”为事件C，由题意知，A，C为互斥事件，B＝A＋C，∴P(B)＝P(A)＋P(C)，P(C)＝P(B)－P(A)＝0.5－0.3＝0.2.] 互斥事件与对立事件的判断 【例1】　某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件． (1)恰有1名男生与恰有2名男生； (2)至少1名男生与全是男生； (3)至少1名男生与全是女生． [解]　从3名男生和2名女生中任选2名同学有3类结果：两男或两女或一男一女． (1)因为恰有1名男生与恰有2名男生不可能同时发生，所以它们是互斥事件但不是对立事件； (2)当恰有2名男生时，至少1名男生与全是男生同时发生，所以它们不是互斥事件． (3)因为至少1名男生与全是女生不可能同时发生，所以它们是互斥事件，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件． 1．判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们能否同时发生．若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件；若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件． 2．判断两个事件是否为对立事件，主要看是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生．这两个条件同时成立，那么