1.4.1 4.2 数据的数字特征-2021-2022学年高中数学必修3【名师导航】同步Word教参(北师大版)

§4　数据的数字特征 4．1　平均数、中位数、众数、极差、方差 4．2　标准差 学 习 目 标 核 心 素 养 1.会求一组数据的平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差．(重点) 2．方差、标准差在实际问题中的应用．(难点) 1.通过求一组数据的平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差，培养数学运算素养． 2．通过方差、标准差在实际问题中的应用，提升数据分析素养. 一、平均数、中位数、众数 1．众数的定义 一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数，一组数据的众数可以是一个，也可以是多个． 2．中位数的定义及求法 把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，把处于最中间位置的那个数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数． 3．平均数的定义 如果有n个数x1，x2，…，xn，那么＝，叫作这n个数的平均数． 二、极差、方差、标准差 1．标准差、方差 (1)标准差的求法： 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示． s＝. (2)方差的求法： 标准差的平方s2叫作方差． s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2] 其中，xn是样本数据，n是样本容量，是样本均值． (3)方差的简化计算公式： s2＝[(x＋x＋…＋x)－n2] ＝(x＋x＋…＋x)－2. 2．极差 一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差． 3．数字特征的意义 平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势，极差、方差刻画了一组数据的离散程度． 思考：一组数据的众数可以有多个吗？中位数是否也有相同的结论？ [提示]　一组数据的众数可能有一个，也可能有多个，但中位数有且只有一个． 1．已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80，其中平均数，中位数和众数的大小关系是(　　) A．平均数＞中位数＞众数 B．平均数＜中位数＜众数 C．中位数＜众数＜平均数 D．众数＝中位数＝平均数 D　[可得该组数据的平均数、中位数和众数均为50.] 2．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本方差为(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D．2 D　[∵样本的平均数为1，即×(a＋0＋1＋2＋3)＝1，∴a＝－1，∴样本方差s2＝×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.] 3．一次选拔运动员的测试中，测得7名选手中的身高(单位：cm)分布的茎叶图如图所示．记录的平均身高为177 cm，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x，则x等于(　　) 18 0 1 17 0 3 x 8 9 A.5　　　　　　　　 B．6 C．7 D．8 D　[由题意知，10＋11＋0＋3＋x＋8＋9＝7×7，解得x＝8.] 4．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4 则：(1)平均命中环数为________； (2)命中环数的标准差为________． (1)7　(2)2　[(1)＝＝7. (2)∵s2＝[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.] 平均数、中位数、众数的计算 【例1】　在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示： 成绩 (单位：m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 人数 2 3 2 3 4 1 1 1 分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数． [解]　在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.题表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70.这组数据的平均数是＝(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝≈1.69.所以这17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75,1.70,1.69. 中位数、众数、平均数的应用要点 中位数、众数反映了一组数据的“中等水平”“多数水平”，平均数反映了数据的平均水平，我们需根据实际需要选择使用． (1)求中位数的关键是将数据排序，一般按照从小到大的顺序排列．中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响．中位数可能在所给数据中，也可能不在所给数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述数据的集中趋势． (2)确定众数的关键是统计各数据出现的频数，频数最大的数据就是众数．当一组数据中有不少数据多次重复出现时，众数往往更能反映数据的集中趋势． (3)平均数与每一个样本数据