专题2.4 角的平分线的性质【七大题型】-2022-2023学年八年级数学上册举一反三系列（苏科版）

专题2.4 角的平分线的性质【七大题型】 【苏科版】 【题型1 作已知角的角平分线】 1 【题型2 角平分线的性质的应用】 3 【题型3 角平分线的性质与等积法】 4 【题型4 角平分线的性质与全等】 6 【题型5 角平分线的判定】 10 【题型6 角平分线的性质与判定综合】 11 【题型7 角平分线的实际应用】 13 【知识点1 角平分线的作法】 ①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. ②分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. ③画射线OC.即射线OC即为所求. 【题型1 作已知角的角平分线】 【例1】（2022秋•上饶县期末）如图，已知方格纸中的每个小方格都是相同的正方形．∠AOB画在方格纸上，请在小方格的顶点上标出一个点P．使点P落在∠AOB的平分线上． （本题有三个结果，三个点分别用字母C、D、E表示） 【变式1-1】（2022秋•瑶海区期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．无法确定 【变式1-2】（2022•辽宁）如图，OG平分∠MON，点A，B是射线OM，ON上的点，连接AB．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE，交OG于点P．若∠ABN＝140°，∠MON＝50°，则∠OPB的度数为（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 【变式1-3】（2022春•西乡县期末）如图，三角形ABC中，点D在AC上． （1）请你过点D作DE平行BC，交AB于E．（要求尺规画图，保留痕迹，不写作法） （2）如果点E在∠C的平分线上，∠C＝44°，那么∠DEC＝　　． 【知识点2 角平分线的性质】 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 【题型2 角平分线的性质的应用】 【例2】（2022春•崇川区校级期末）如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（　　） A．54° B．50° C．48° D．46° 【变式2-1】（2022秋•蓬江区校级期中）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD：BD＝3：4．若BC＝21，则点D到AB边的距离为　　． 【变式2-2】（2022秋•武昌区期中）在△ABC中，∠ABC＝110°，∠C的平分线交AB于E，在AC上取点D，使得∠CBD＝40°． （1）求证：点E到AC和BD的距离相等； （2）连接ED，求∠CED的度数． 【变式2-3】（2022春•金堂县期末）在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，∠ACB的平分线交AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，连接DE，DF⊥BC于F，则∠EDC＝ 　 °． 【题型3 角平分线的性质与等积法】 【例3】（2022•增城区期末）△ABC中，AB＝BC＝CA，三内角平分线交于O，OP⊥AB于P，OM⊥BC于M，ON⊥CA于N，AH⊥BC于H．求证OP+OM+ON＝AH． 【变式3-1】（2022春•泰和县期末）如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝BC＝8，若S△ABC＝28，求DE的长． 【变式3-2】（2022春•香坊区期末）已知：点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M、N分别是射线AE、AF上的点，且PM＝PN． （1）当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上时（如图1），求证：BM＝CN； （2）在（1）的条件下，AM+AN＝　　AC； （3）当点M在线段AB的延长线上时（如图2），若AC：PC＝2：1，PC＝4，求四边形ANPM的面积． 【变式3-3】（2022秋•朝阳期中）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD． （1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝　 　； （2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）； （3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝　　． 【题型4 角平分线的性质与全等】 【例4】（2022春•通道县期末）已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM