微专题五 勾股定理中的蚂蚁爬行、378和578模型-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学上册同步精品讲义（苏科版）

微专题五 勾股定理中的蚂蚁爬行、378和578模型 模型一 蚂蚁爬行模型 蚂蚁爬行模型常考的类型有蚂蚁沿着圆柱的侧面爬行、沿着长方体或正方体的面爬行，求最短的距离；在解此类题目时一般需要沿着一定的面，将立体图形展开，连接蚂蚁爬行的起点和中点，构成的线段即为最短距离。如下图图2中线段AB的长度就是图1中蚂蚁由A点爬行到B点的最短距离。 【典例1】．如图，圆柱形容器的高为0.9m，底面周长为1.2m，在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.2m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为_____ m． 【答案】1 【分析】画出容器侧面展开图（见详解），作点A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 【详解】解：如图，将容器侧面展开，作点A关于EF的对称点A′，连接A′B， 则A′B为最短距离． 由题意知，A′D＝0.6m，A′E＝AE=0.2m， ∴BD＝0.9-0.3+0.2=0.8m， ∴A′B＝ ＝ ＝1（m）． 故答案为：1． 模型二 378和578模型 当三角形的三边长度分别是3、7、8和5、7、8时，可以通过做垂线，构造一组含有公共边的直角三角形，利用勾股定理和公共边相等，建立方程，从而使题目得到解决，如下图： 在中，AB=5，AC=7，BC=8；过A点做AD垂直于BC，垂足为点D；根据勾股定理可得： 从而解得的值。 【典例2】边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（       ）． A．90° B．150° C．135° D．120° 【答案】D 【分析】设△ABC的三边AB=5，AC=7，BC=8，过点A作AD⊥BC于点D，设BD=x，分别在Rt△ADB和Rt△ADC中，利用勾股定理求得AD，从而可建立方程，求得x的值，可求得∠B，因此可得最大角和最小角的和． 【详解】设△ABC的三边AB=5，AC=7，BC=8，过点A作AD⊥BC于点D，如图 设BD=x，则CD=8-x 在Rt△ADB中，由勾股定理得：；在Rt△ADC中，由勾股定理得： 则得方程： 解得： 即 ∵，AD⊥BC ∴∠BAD=30゜ ∴∠ABD=90゜-∠BAD=60゜ ∴∠BAC+∠C=180゜-∠ABD=120゜ ∵BC>AC>AB ∴∠BAC>∠ABD>∠C 故最大角与最小角的和为120゜ 故选：D． 模型提分训练 一、单选题 1．如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处，若AB＝3cm，BC＝5cm，BF＝6cm，则最短的爬行距离是（　　） A．10 B．14 C． D． 【答案】A 【分析】把长方体展开，根据两点之间线段最短得出最短路线AG，根据勾股定理，即可求出AG长度； 【详解】把长方体展开有三种情况： 当蜘蛛从A 出发到EF上再到G时，如下图所示 ， ， ， 在中，； 当蜘蛛从A 出发到BF上再到G时，如下图所示 ，， ， ， ， 在中，， 当蜘蛛从A 出发到EH上再到G时，如下图所示 ， ， ∴AF=9cm， 在中，， ． 故选：A． 2．如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝，高BC＝12cm，P为BC的中点，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬到点的最短距离为　　 A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm 【答案】B 【分析】把圆柱的侧面展开，连接，利用勾股定理即可得出的长，即蚂蚁从点爬到点的最短距离． 【详解】解：如图：展开后线段的长度是圆柱中半圆的周长， 圆柱底面直径、高，为的中点， ， 在中，， 蚂蚁从点爬到点的最短距离为， 故选：． 3．如图，圆柱的高为4cm，底面半径为cm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B处的食物，已知四边形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径、问：蚂蚁食到食物爬行的最短距离是（　　）cm． A．5 B．5π C．3+ D．3+ 【答案】A 【分析】如图，先把圆柱体沿着直线剪开，得到矩形如图示：可得线段的长度为所求的最短距离，再利用勾股定理可得答案. 【详解】解：把圆柱体沿着直线剪开，得到矩形如下： 则线段的长度为所求的最短距离. 由题意得圆柱的高为： 底面半径为， 所以蚂蚁至少要爬行路程才能吃到食物. 故选：A 4．如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别是，A和B是这个台阶相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到B处去吃食物，则这只蚂蚁爬行的最短距离为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将图形平面展开，再由勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 设蚂蚁沿