微专题四 勾股定理中的风吹树折模型和出水芙蓉模型-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学上册同步精品讲义（苏科版）

微专题四 勾股定理中的风吹树折模型和出水芙蓉模型 模型一 风吹树折模型 其基本模型如下： 如图：风吹树模型常有两种考法： （1）已知求AD的长度，该种情况通常设，在中根据勾股定理可得：，进而可求得AD的长度。 （2）已知求AC的长度，该种情况通常设，在中根据勾股定理可得：，化简： 【典例1】如图，马路一边有一根长的电线杆被一辆货车从离地面处撞断裂，倒下的电线杆顶部是否会落在离它底部远的快车道上？说明理由． 【答案】不会，见解析 【分析】利用线段和差先求出BC1，根据勾股定理求出AC1，比较大小即可． 【详解】解：不会落在离它的底部远的快车道上，理由如下： ∵， ∴ ∴在中由勾股定理得 ∵， ∴电线杆顶部不会落在离它的底部远的快车道上． 模型二 出水芙蓉模型 其基本模型如下： 已知点O为池塘底部的中点，池塘底部宽为a，露出水面的AC部分为b,将OA向右旋转使A点与B点重合，求OA的长度。出水芙蓉问题通常设，在中，根据勾股定理可得 又因为, 所以： 进而可以求出OA的长度。 【典例2】一株荷叶高出水面1米，一阵风吹来，荷叶被吹得贴着水面，这时它偏离原来的位置有2米远，如图所示，求荷叶的高度和水面的深度． 【答案】荷叶的高度为米，水面的深度为米． 【分析】设OA＝OB＝x米，则OC＝（x﹣1）米，在Rt△OBC中，利用勾股定理得：（x﹣1）2+22＝x2，解方程即可． 【详解】解：设OA＝OB＝x米，则OC＝（x﹣1）米，BC＝2米， 在Rt△OBC中，由勾股定理得： OC2+BC2＝OB2， ∴（x﹣1）2+22＝x2， 解得x＝， ∴OA＝（米），OC＝x﹣1＝（米）， 答：荷叶的高度为米，水面的深度为米． 模型提分训练 一、单选题 1．一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端6尺处，折断处离地面的高度是多少？（这是我国古代《九章算术》中的“折竹抵地问题．其中的丈、尺是长度单位，一丈＝10尺）设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（       ） A．x2＋62＝（10﹣x）2 B．x2﹣62＝（10﹣x）2 C．x2＋6＝（10﹣x）2 D．x2﹣6＝（10﹣x）2 【答案】A 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是x尺，则斜边为（10-x）尺．利用勾股定理解题即可． 【详解】解：1丈=10尺， 设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为（10-x）尺， 根据勾股定理得：x2+62=（10-x）2， 故选：A． 2．如图，一棵高为10m的大树被台风刮断，若树在离地面4m处折断，树顶端刚好落在地面上，折断后树顶端离树底部（       ）m． A．6 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合勾股定理即可求得折断后树顶端离树底部的距离． 【详解】解：如图： ∵AB＝4米，BC＝10﹣4＝6（米）， ∵∠A＝90° ∴AB2+AC2＝BC2 ∴42+AC2＝62， 解得：AC＝， ∴折断后树顶端离树底部有米． 故选D． 3．如图，一棵树从3m处折断了，树顶端离树底端距离4m，那么这棵树原来的高度是：（       ） A．8m B．5m C．9m D．7m 【答案】A 【分析】根据大树末端部分、折断部分及地面正好构成直角三角形，利用勾股定理解答即可． 【详解】由题意可知：BC=3m，AC=4m， ∴在中， m ∴这棵树原来的高度m． 故答案选：A． 4．将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的取值范围是（　　） A．0≤h≤12 B．12≤h≤13 C．11≤h≤12 D．12≤h≤24 【答案】C 【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可． 【详解】当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12（cm）． 当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小， 如图所示：此时，AB＝＝＝13（cm）， 故h＝24﹣13＝11（cm）． 故h的取值范围是：11cm≤h≤12cm． 故选：C． 5．如图是一圆柱形玻璃杯，从内部测得底面直径为，高为，现有一根长为的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】吸管露出杯口外的长度最小，则在杯内的长度最长，此时若沿杯子的底面直径纵向切开，则当吸管在矩形的对角线所在直线上时，杯内吸管最长，然后用勾股定理即可解决． 【详解】如图，沿杯子的底面直径纵向切开，则当吸管在矩形的对角线所在直线上时，杯内吸管最长，则吸管露出杯口的长度最小，由勾股定理得：杯内吸管的长度为：(cm) 所以吸管露出杯口外的长度最少为25-20=5(cm) 故选：B． 6．如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿竖直插到水