微专题三 将军饮马模型-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学上册同步精品讲义（苏科版）

微专题三 将军饮马模型 模型 将军饮马模型 如图，A、B两点在直线l的同侧，求在直线l上找一点P，使得PA+PB的值最小。该种题型一般可以做A点或B点关于直线l的对称点，或，连接或，或交直线l于点P，使得PA+PB的值最小。 【典例1】如图，牧童在离河边3km的A处牧马，小屋位于他南6km东9km的B处，他想把他的马牵到河边饮水，然后回小屋．他要完成此过程所走的最短路程是多少？并在图中画出饮水C所在在位置（保留作图痕迹）． 【答案】最短路程是；画图见解析． 【分析】先作关于的对称点，连接，构建直角三角形，利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：如图，作出点关于的对称点，连接交于点，则点是马饮水的位置， 根据对称性可得，, 则， ∴， 由已知得，，， 在中，由勾股定理求得 ， 即， 答：他要完成这件事情所走的最短路程是，饮水所在位置． 【典例2】如图，在一条东西向的马路上有广场A和医院C，在各自正北方向上分别有汽车站B和汽车站D，已知AC＝14km，AB＝4km，CD＝8km，市政府打算在马路AC段之间建造一个加油站P． （1）若要使得加油站P到两汽车站的距离之和最小，请用尺规作图在图1中作出加油站P的位置，并直接写出此时的最小值．（作图请保留痕迹，结果可以保留根号） （2）若要使得加油站到两汽车站的距离相等，请用尺规作图在图2中作出加油站P的位置，并求出此时PA的距离．（作图请保留痕迹） 【答案】（1）图见解析，km；（2）图见解析，km． 【分析】（1）作点B关于AC的对称点B′，连接DB′交AC于点P，连接PB，此时PB+PD的值最小，利用勾股定理求出最小值； （2）连接BD，作线段BD的垂直平分线交AC于点P，连接PB，PD，点P即为所求，设PA＝xkm，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图1中，点P即为所求． 过点D作DE⊥AB交AB的延长线于点E．则四边形ACDE是矩形， ∴AC＝DE＝14（km），CD＝AE＝8（km）， ∵AB＝AB′＝4km， ∴EB′＝AE+AB′＝12（km）， ∴PB+PD的最小值＝DB′＝＝＝（km）． （2）如图2中，点P即为所求， 设PA＝xkm，CP＝（14﹣x）km， ∵∠A＝∠C＝90°， 在Rt△ABP和Rt△PCD中，PB＝PD， ∴42+x2＝82+（14﹣x）2， 解得x＝ ∴AP＝（km）． 模型提分训练 一、单选题 1．已知线段AB及直线l，在直线上确定一点，使最小，则下图中哪一种作图方法满足条件（       ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称的性质以及两点之间线段最短即可解决问题． 【详解】解：∵点A，B在直线l的同侧， ∴作B点关于l的对称点B'，连接AB'与l的交点为P，由对称性可知BP=B'P， ∴PA+PB=PB′+PA=AB′为最小 故选：C． 2．如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（       ） A． B．3 C．2 D．4 【答案】C 【分析】连接BE，交AD于点M，过点E作EF⊥BC交于点F，此时EM＋CM的值最小，求出BE即可． 【详解】解：连接BE，交AD于点M，过点E作EF⊥BC交于点F， ∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线， ∴B点与C点关于AD对称， ∴BM＝CM， ∴EM＋CM＝EM＋BM＝BE，此时EM＋CM的值最小， ∵AC＝6，AE＝2， ∴EC＝4， 在Rt△EFC中，∠ECF＝60°， ∴FC＝2，EF＝2， 在Rt△BEF中，BF＝4， ∴BE＝2， 故选：C． 3．如图，在△ABC中，AC=4，BC边上的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、E，若△AEC的周长是14，则直线DE上任意一点到A、C距离和最小为（ ） A．28 B．18 C．10 D．7 【答案】C 【分析】根据线段的垂直平分线的性质可知，B和C关于直线DE对称，EB=EC，因此E点就是DE上到A、C距离和最小的点，由△AEC的周长可求． 【详解】解：∵DE是BC的中垂线， ∴BE=EC，B和C关于直线DE对称 ∴E点就是DE上到A、C距离和最小的点， ∵AB=EB+AE=CE+EA，△ACE的周长为14， ∴AB=14﹣4=10， 即直线DE上任意一点到A、C距离和最小为10． 故选C． 二、填空题 4．如图，等边三角形的边上的高为6，是边上的中线，M是线段上的-一个动点，E是中点，则的最小值为_________． 【答案】6 【分析】连接BE交AD于M，则BE就是EM+CM的最小值，通过等腰三角形的“三线合一”，可得BE=AD即可得出结论． 【详解】解：连接BE，与AD交于点M． ∵AB=AC，AD是BC边上的