专题1.5 四边形中的折叠问题专项训练（30道）-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（北师大版）

专题1.5 四边形中的折叠问题专项训练（30道） 【北师大版】 考卷信息： 本套训练卷共30题，选择10题，填空10题，解答10题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对折叠问题的理解！ 一．选择题（共10小题） 1．（2022•绥化一模）如图，在一张矩形纸片ABCD中AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的点H处，点D落在点G处，连接CE，CH．有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②CE平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF＝5．以上结论中，其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF＝FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确； ②根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH＝∠ECH，然后求出只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，判断出②错误； ③点H与点A重合时，设BF＝x，表示出AF＝FC＝8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF＝CD，求出BF＝4，然后写出BF的取值范围，判断出③正确； ④过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④错误． 【解答】解：①∵FH与EG，EH与CF都是原来矩形ABCD的对边AD、BC的一部分， ∴FH∥CG，EH∥CF， ∴四边形CFHE是平行四边形， 由翻折的性质得，CF＝FH， ∴四边形CFHE是菱形，故①正确； ②∵四边形CFHE是菱形， ∴∠BCH＝∠ECH， ∴只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，故②错误； ③点H与点A重合时，设BF＝x，则AF＝FC＝8﹣x， 在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2， 即42+x2＝（8﹣x）2， 解得x＝3， 点G与点D重合时，CF＝CD＝4， ∴BF＝4， ∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，故③正确； ④如图，过点F作FM⊥AD于M， 则ME＝（8﹣3）﹣3＝2， 由勾股定理得， EF2，故④错误． 综上所述，结论正确的有①③，共2个． 故选：B． 2．（2022•沿河县二模）如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（10，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到△OPD，连接CD、AD．则下列结论中：①当∠BOP＝45°时，四边形OBPD为正方形；②当∠BOP＝30°时，△OAD的面积为15；③当P在运动过程中，CD的最小值为26；④当OD⊥AD时，BP＝2．其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①由矩形的性质得到∠OBC＝90°，根据折叠的性质得到OB＝OD，∠PDO＝∠OBP＝90°，∠BOP＝∠DOP，推出四边形OBPD是矩形，根据正方形的判定定理即可得到四边形OBPD为正方形；故①正确； ②过D作DH⊥OA于H，得到OA＝10，OB＝6，根据直角三角形的性质得到DH3，根据三角形的面积公式得到△OAD的面积为OA•DH3×10＝15，故②正确； ③连接OC，于是得到OD+CD≥OC，即当OD+CD＝OC时，CD取最小值，根据勾股定理得到CD的最小值为26；故③正确； ④根据已知条件推出P，D，A三点共线，根据平行线的性质得到∠OPB＝∠POA，等量代换得到∠OPA＝∠POA，求得AP＝OA＝10，根据勾股定理得到BP＝BC﹣CP＝10﹣8＝2，故④正确． 【解答】解：①∵四边形OACB是矩形， ∴∠OBC＝90°， ∵将△OBP沿OP折叠得到△OPD， ∴OB＝OD，∠PDO＝∠OBP＝90°，∠BOP＝∠DOP， ∵∠BOP＝45°， ∴∠DOP＝∠BOP＝45°， ∴∠BOD＝90°， ∴∠BOD＝∠OBP＝∠ODP＝90°， ∴四边形OBPD是矩形， ∵OB＝OD， ∴四边形OBPD为正方形；故①正确； ②过D作DH⊥OA于H， ∵点A（10，0），点B（0，6）， ∴OA＝10，OB＝6， ∴OD＝OB＝6，∠BOP＝∠DOP＝30°， ∴∠DOA＝30°， ∴DH3， ∴△OAD的面积为OA•DH3×10＝15，故②正确； ③连接OC， 则OD+CD≥OC， 即当OD+CD＝OC时，CD取最小值， ∵AC＝OB＝6，OA＝10， ∴OC2， ∴CD＝OC﹣OD＝26， 即CD的最小值为26；故③正确； ④∵OD⊥AD， ∴∠ADO＝90°， ∵∠ODP＝∠OBP＝90°， ∴∠ADP＝180°， ∴P，D，A三点共线， ∵OA∥CB， ∴∠OPB＝∠POA， ∵∠OPB＝∠OPD， ∴∠OPA＝∠POA， ∴AP＝OA＝10， ∵AC