2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）加试预测卷（四）

2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）加试预测卷（四） 一、（本题满分40分）设是实数列，满足存在正整数N，使得对任意都有。已知对任意整数，都有。求证：对任意正整数k，都有 。 二、（本题满分40分）如图，在非等腰锐角△ABC中，O、I分别是外心和内心，⊙I与BC、CA、AB分别切于点D、E、F。过D作EF的垂线，分别与EF和⊙I交于点P、Q。过A作BC的垂线，与直线OI交于点。已知OI∥BC，求证：。 三、（本题满分50分）初始时黑板上有六个向量 (1,0,0)、(−1,0,0)、(0,1,0)、(0,−1,0)、(0,0,1)、(0,0,−1)。 一次操作可以将黑板上的两个向量v、w换为、。求若干次操作后，黑板上所有向量之和的模的最大可能值。 四、（本题满分50分）求最小的正整数n，使得对至少两个奇质数p，有 。 学科网（北京）股份有限公司 $