2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）加试预测卷（六）

2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）加试预测卷（六） 一、（本题满分40分）如图，在△ABC中，外接圆在B, C处的切线交于点D。线段AD与以D为圆心DB为半径的圆交于点E。延长EB至点F、EC至点G，使得∠AFE=∠AGE=∠BAC。求证：△AFG的外接圆在A处的切线与直线BC平行。 二、（本题满分40分）求最大的正整数k，使得存在正整数n，满足都能表示为的形式，其中x, y是正整数。 三、（本题满分50分）给定正整数，正实数，，证明：对任意实数，均有 ， 其中． 四、（本题满分50分）用平面上的一个点表示一座城市。现有n≥2座城市，对其中每座城市X，存在一座城市N(X)离X严格比其他城市离X近。政府在且仅在每对城市X和N(X)之间修路。已知从任意一座城市出发，总能经过一系列路到达其他任何城市。称一座城市是近郊的，如果它是某个N(X)。求证：至少存在座近郊的城市。 学科网（北京）股份有限公司 $