专题2.3 立方根-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学上册同步精品讲义（北师大版）

专题2.2 立方根 ( 目标导航 ) 1. 了解立方根的含义； 2.会用开立方运算求一个数的立方根，与立方互为逆运算， 3.了解立方根的性质； 4.区分立方根与平方根的不同。 ( 知识精讲 ) 知识点01 立方根的概念 1.立方根的定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 2.立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 【微点拨】 1.一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 【知识拓展1】立方根的概念 例1．（2022·河北邢台·八年级期末）表示（       ） A．5的负立方根 B．的立方根 C．5的立方根的相反数 D．的相反数 【答案】C 【分析】根据题意可知，表示5的立方根的相反数即可求解． 【详解】解：表示5的立方根的相反数 故选C 【点睛】本题考查了立方根，掌握立方根的表示方法是解题的关键． 【即学即练】 1.（2021•仓山区八年级期中）如果﹣a是b的立方根，那么下列结论正确的是（　　） A．a是﹣b的立方根 B．a是b的立方根 C．﹣a是﹣b的立方根 D．±a都是b的立方根 【解题思路】根据立方根的定义推导即可得出结论． 【解答过程】解：根据题意得：（﹣a）3＝b， ∴﹣a3＝b，∴a3＝﹣b，∴a是﹣b的立方根， 【知识拓展2】求一个数的立方根 例2．（2022·海南·儋州川绵中学八年级阶段练习）下列语句中正确的是（       ） A．负数没有立方根 B．8的立方根是 C．立方根等于本身的数是 D． 【答案】D 【分析】根据立方根的性质解答． 【详解】解：A. 负数有立方根，故该项不符合题意； B. 8的立方根是2，故该项不符合题意； C. 立方根等于本身的数是和0，故该项不符合题意；        D. ，故该项不符合题意；故选：D． 【点睛】此题考查了立方根的性质，正数的立方根还是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是0，熟记性质是解题的关键． 【即学即练】 2.（2021春•雨花区校级月考）根据图中呈现的运算关系，可知a＝　 　，b＝　 　． 【解题思路】利用立方根和平方根的定义及性质即可解决问题． 【解答过程】解：依据图中呈现的运算关系，可知2020的立方根是m，a的立方根是﹣m， ∴m3＝2020，（﹣m）3＝a，∴a＝﹣2020； 又∵n的平方根是2020和b，∴b＝﹣2020．故答案为：﹣2020，﹣2020． 3．（2022·内蒙古通辽·七年级期中）下列语句正确的是（       ） A．的立方根是2 B．－3是27的立方根 C．的立方根是 D．（－1）2的立方根是－1 【答案】A 【分析】根据算术平方根、立方根的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、的立方根是2，则此项正确，符合题意； B、是的立方根，则此项错误，不符合题意； C、的立方根是，则此项错误，不符合题意； D、的立方根是1，则此项错误，不符合题意；故选：A． 【点睛】本题考查了算术平方根和立方根，熟练掌握立方根的求法是解题关键． 知识点02 立方根的性质 【微点拨】 1.第三个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 【知识拓展1】立方根的性质 例1．（2022·江苏·八年级）（2021春•广安区校级期末）若，则与的关系是　　 A． B．与相等 C．与互为相反数 D． 【答案】C 【分析】根据立方根的意义和性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．则．所以与互为相反数，由此解决问题． 【详解】解：，， 与的关系是互为相反数（或，或．故选：C． 【点睛】此题考查了立方根．解题的关键是得到这一步． 【即学即练1】 1．（2022·成都市·八年级课时练习）【发现】 ① ② ③ ④……； (1)根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：____________． 【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题： 对于任意两个有理数a，b，若，则； 【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题： (2)若与的值互为相反数，且，求a的值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题目给出的规律解答；（2）根据题意列出方程，与已知方程联立解得a的值． (1)，符合上述规律， 故答案为：； (2)∵与的值互为相反数， ∴+=0， ∴， 解得， 代入中， 解得，，∴． 【点睛】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质等知识，解题的关键是明确题意