湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高二上学期入学考试(暑假作业检测)数学试题

长郡中学2022年高二暑假作业检测试卷 数 学 得分： 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页。时量120分钟。满分150分。 第 Ⅰ 卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知i是虚数单位，复数是纯虚数，则实数x的值为（ ） A．2 B． C． D．4 2．若，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 3．在平面四边形中，满足，，则四边形ABCD是（ ） A．矩形 В．正方形 C．菱形 D．梯形 4．《九章算术》是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积（单位：平方丈）为（ ） A． B． C． D． 5．已知a，b是两条不重合直线，，是两个不重合平面，则下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则△ABC的形状为（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 7．设，若是的最小值，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠（球的表面上有四个点A，B，C，P，且球心O在PC上，AC=BC=4，AC⊥BC，，则该鞠（球）的表面积为（ ） A． B． C． D． 二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 9．下列选项中，与sin30°的值相等的有（ ） A． B． C． D． 10．某同学在研究函数，（）时，分别得出下面几个结论，其中正确的结论是（ ） A．等式在时恒成立 B．函数的值域为 C．若，则一定有 D．方程在R上有三个根 11．已知，，，，且的图象的对称中心与对称轴的最小距离为，则下列说法正确的是（ ） A． B．的图象关于直线对称 C．把图象向左平移单位，所得图象关于y轴对称 D．保持图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后把图象向左平移个单位，得到函数的图象 12．已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，如图，点F，G，M分别为CC1，BB1，B1C1的中点，则下列说法正确的是（ ） A．平面AD1F∥平面A1MG B．直线AD1与直线A1G所成角的余弦值为 C．平面AFD1截正方体ABCD−A1B1C1D1所得截面的面积为 D．点C1与点G到平面AFD1的距离相等 第 Ⅱ 卷 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，则复数的共轭复数为________． 14．已知，则________． 15．已知函数在内是减函数，则的取值范围是________． 16．已知三角形的三边长，其面积是固定的，而已知平面凸四边形的四边长，其面积是不确定的．现有一平面凸四边形ABCD，AB=3，BC=4，CD=5，DA=6，则其面积最大值为________． 四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10分） 如图所示，三棱柱ABC−A1B1C1中，，，，CA=CB=CC1=1，，，N是AB中点． （1）用a，b，c表示向量； （2）在线段C1B1上是否存在点M，使AM⊥A1N？若存在，求出M的位置，若不存在，说明理由． 18．（本小题满分12分） 已知函数． （1）若函数在上有且仅有一个零点，求实数k的取值范围； （2）是否存在实数m，使得函数（）在上的值域为，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由． 19．（本小题满分12分） 如图所示，已知DOE是半径为，中心角为的扇形，P为弧上一动点，四边形PQMN是矩形，∠POD=x（）． （1）求矩形PQMN的面积的最大值及取得最大值时的x值； （2）在△ABC中，，，其面积，求△ABC的周长． 20．（本小题满分12分） 如图所示，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD