专题03 比较大小常见题型的研究（2）-2023年高考数学微专题复习（新高考地区专用）

专题03 比较大小常见题型的研究（2） 一、真题剖析 1、【2022年新高考1卷】设，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以， 故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又， 所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以 故选：C. 【试题情景】本题属于探索性创新情境，本题是以对数值、指数为载体，考查比较大小的问题。 【必备知识】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小. 【能力素养】本题考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力，考查的学科素养是理想思维和数学探索，本题考查考生对函数图像与性质的数形结合思想的理解与应用。 2、【2021年乙卷理科】设，，．则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】, 所以; 下面比较与的大小关系. 记,则,， 由于 所以当0<x<2时，,即,, 所以在上单调递增， 所以,即,即; 令,则,, 由于，在x>0时,, 所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b<c; 综上，, 故选：B. 【试题情景】本题属于探索性创新情境，本题是以对数值、根式为载体，考查比较大小的问题。 【必备知识】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的. 【能力素养】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系 二、题型选讲 题型一、 构造函数研究单调性 例1、【2022年全国甲卷】已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由结合三角函数的性质可得；构造函数，利用导数可得，即可得解. 【详解】 因为,因为当 所以,即,所以； 设， ，所以在单调递增， 则,所以， 所以,所以， 故选：A 变式1、【2020年新课标1卷理科】若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 设，利用作差法结合的单调性即可得到答案. 【详解】 设，则为增函数，因为 所以， 所以，所以. ， 当时，，此时，有 当时，，此时，有，所以C、D错误. 故选：B. 变式2、（2022·湖北武昌·高三期末）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据对数和指数的单调性可判断，；在构造函数，，再根据换元法和不等式放缩，可证明当时，，由此即可判断的大小. 【详解】 因为 ，所以； 由且，所以，所以， 令，， 令 ，则， 则，等价于，； 又， 所以当时，， 故，所以． 故选：C． 变式3、【2020年新课标2卷理科】若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果. 【详解】 由得：， 令， 为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数， ， ，，，则A正确，B错误； 与的大小不确定，故CD无法确定. 故选：A. 题型二、利用导数研究函数的单调性 例2、（2021年普通高等学校招生全国统一考试乙卷） 设，若为函数的极大值点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故. 有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的. 当时，由，，画出的图象如下图所示： 由图可知，，故. 当时，由时，，画出的图象如下图所示： 由图可知，，故. 故选：D.综上所述，成立. 故选：D 变式1、（2021·广东惠州市高三二模）（多选题）已知正数，，满足，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D．以上均不对 【答案】A 【解析】由，得，则，得， 所以，所以， 令，则， 所以函数在上单调递增，所以， 所以，即 所以， 所以， 综上， 故选：A 变式2、(2022·江苏金陵中学期中)设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】比较大小，转化为比较大小，构造函数，通过求导判断的单调性，可得出大小；比较大小，转化为比较，构造函数，求导判断单调性，得到出大小，即可得出结论. 【详解】设，当时，在上单调递减， ，即，，所以；